%
% '03-teoret.tex' created: Tue Dec 10 16:18:26 2002
%
% Developed by Lubomir Host 'rajo' <rajo AT platon.sk>
% Copyright (c) 2003 Platon SDG
% Licensed under terms of GNU General Public License.
% All rights reserved.
%

% $Platon$

\chapter{Fyzik�lna formul�cia probl�mu}

\section{Rezonan�n� v�mena n�boja}

Proces rezonan�nej v�meny n�boja je interakcia medzi at�mom neutr�lneho
plynu a~jeho i�nom. T�to reakciu mo�no zap�sa� rovnicou

\begin{eqnarray}
	A^\pm + A(nl) & \longrightarrow & A(n'l') + A^\pm %\\
%	A^\pm_2 + A_2(\Lambda) & \longrightarrow & A(\Lambda') + A^\pm_2
.
	\label{reakcia}
\end{eqnarray}

Reakcia je spojen� s procesom prechodu valen�n�ho elektr�nu cez
potenci�lov� bari�ru v~pr��a�livom poli susedn�ch �ast�c.  V~ide�lnom
pr�pade nedoch�dza k~prenosu hybnosti medzi i�nom a~neutr�lnym at�mom.
D�vodom je pribli�ne rovnak� hmotnos� i�nu a~neutr�lneho at�mu, ked�e
hmotnos� elektr�nu mo�no vzh�adom na hmotnos� at�mu zanedba�. Takto
prenos n�boja z~i�nu na neutr�lny at�m produkuje i�n s~tepelnou
r�chlos�ou. V~aproxim�cii studen�ho plynu mo�no t�to energiu zanedba�.
Pr�padne mo�no pou�i� limitn� prechod k~siln�m poliam. Pou�it�m tejto
aproxim�cie mo�no predpoklada�, �e po ka�dej zr�ke (procese rezonan�nej
v�meny) i�n �tartuje z~pokoja. �asov� priebeh r�chlosti i�nu je
zn�zornen� na obr�zku \refimage{rychlost-ionu}.

\inputImage{rychlost-ionu}{0.5\textwidth}{images/rychlost-ionu}
{Sch�matick� zn�zornenie priebehu r�chlosti i�nu a~ubehnutej dr�hy
v~z�vislosti od �asu v~aproxim�cii studen�ho plynu (bezrozmern� jednotky).}



\section{Generovanie distribu�n�ch funkci�}
\label{generovanie}
% /*

V�po�et met�dou Monte Carlo predpoklad� modelovanie n�hodn�ho procesu
pomocou oper�ci� s~n�hodn�mi ��slami. Podmienkou �spechu je mo�nos�
n�hodn� proces mnohon�sobne opakova�. K~tomu je potrebn� ma� dostato�n�
po�et n�hodn�ch ��sel s~najrozli�nej��mi pravdepodobnos�ami
$F_\xi(x)$ (distribu�n�mi funkciami $f_\xi(x)$).  Ako z~�al�ieho
vyplynie, nie je potrebn� zostrojova� �peci�lne gener�tory n�hodn�ch
��sel pre ka�d� typ distribu�nej funkcie. Vysta��me si s~gener�torom
n�hodn�ch ��sel $\oper{R}(0, 1)$ s~rovnomern�m rozdelen�m na intervale
$(0, 1)$. N�hodn� veli�iny s~in�m typom rozdelenia potom mo�no z�ska�
z~$\oper{R}(0, 1)$ niektorou z~uveden�ch met�d.

N�hodn� ��sla mo�no z�ska� rozli�n�m sp�sobom. Najjednoduch��m
z~gener�torov je oby�ajn� hracia kocka, ktor� poskytuje n�hodn� ��slice
$1, 2, \dots, 6$. Tento gener�tor je v�ak pri numerick�ch v�po�toch
roben�ch po��ta�om nepou�ite�n�. Ako pou�ite�n� by mohol by� fyzik�lny
gener�tor pripojen� k~po��ta�u, ktor� by v~okamihu potreby generoval
n�hodn� ��slo. Tento typ gener�tora je zalo�en� na anal�ze n�hodn�ch
fyzik�lnych procesov, ako je radioakt�vny rozpad, �um elektronick�ch
prvkov a~pod. Tento typ gener�tora predstavuje extern� zariadenie
pripojen� k~po��ta�u a~nie je preto be�ne pou��van�.

Dominuj�cim typom gener�tora n�hodn�ch ��sel je v~dne�nej dobe typ
zalo�en� na aritmetick�ch proced�rach. N�hodn� ��sla sa vytv�raj�
pomocou �peci�lnych rekurentn�ch vzorcov. V~pravom zmysle slova sa preto
nejedn� o~n�hodn� ��sla, lebo s� generovan� pr�sne deterministick�m
sp�sobom. Takto generovan� ��sla sa naz�vaj� pseudon�hodn� ��sla. Tieto
n�hodn� ��sla mo�no z�skava� priamo po��ta�om dostato�ne r�chlo
a~v~dostato�nom po�te. Nie je podstatn�, ak�m sp�sobom n�hodn�
(pseudon�hodn�) ��sla z�skame, ale nesmierne d�le�it� je, aby ��sla
vyhovovali �tatistick�m testom.

V~tejto �asti pop��eme z�kladn� sp�soby generovania n�hodn�ch ��sel,
ktor� boli pou�it� pri implement�cii met�dy Monte Carlo. Jedn� sa
o~met�du inverznej funkcie (kapitola \refchapter{inverse-method})
a~von~Neumannovu met�du (kapitola \refchapter{neumann-method}).

\subsection{Met�da inverznej funkcie}
\label{inverse-method}

T�to met�da generovania n�hodn�ch ��sel je zalo�en� na nasleduj�cej vete:

%Nech $F(x)$ je distribu�n� funkcia, $F^{-1}(y) = \sup\{x \in
%\mathbb{R}, F(x) \leq y\}$, $0 < y < 1$, je zodpovedaj�ca kvantilov�
%funkcia a nech n�hodn� veli�ina $Y$ m� rovnomern� rozdelenie
%$\oper{R}(0, 1)$. Potom veli�ina $X = F^{-1}(Y)$ m� rozdelenie s
%distribu�nou funkciou $F(x)$.

Ak n�hodn� veli�ina $\xi$ m� distribu�n� funkciu $f_\xi(x)$, potom
rozdelenie n�hodnej veli�iny

\begin{equation}
	\eta = \Int_{-\infty}^{\xi} f_\xi(x) dx
	\label{eta}
\end{equation}

je rovnomern� na intervale $(0, 1)$.

Transform�cia n�hodn�ch ��sel $R_i$ rovnomerne rozlo�en�ch na intervale
$(0, 1)$ %, $R_i \in \oper{R}(0,1)$ 
na n�hodn� ��sla $x_i$ s~dan�m rozlo�en�m $f_\xi(x)$ sa potom
dost�va rie�en�m rovnice

\begin{equation}
	\Int_{-\infty}^{x_i} f_\xi(x) dx = R_i
	\label{xi}
\end{equation}

T�to met�da sa pou��va na generovania n�hodn�ch ��sel
s~pravdepodobnos�ou $F_\xi(x)$ v~t�ch pr�padoch, ke� vieme
$F_\xi^{-1}(y)$ jednoducho vypo��ta�. 

\subsection{Neumannova met�da}
\label{neumann-method}

T�to met�da poch�dza od \bibauthor{J. von Neumanna} a~niekedy sa t�to
met�da naz�va aj met�dou v�beru. Pou��va sa najm� v~pr�padoch, kedy
nemo�no analyticky vyjadri� inverzn� funkciu $F_\xi^{-1}(y)$.

Nech distribu�n� funkcia $f_\xi(x)$ n�hodnej veli�iny $\xi$ je
ohrani�en� na intervale $(a, b)$. Ozna�me $M = \sup\{f_\xi(x), a < x <
b\}$. Vygenerovanie n�hodnej hodnoty veli�iny $\xi$ potom prebieha
n�sledovne (vi�. obr�zok \refimage{neumann}):
\begin{enumerate}
	\item Vygenerujeme dve hodnoty $R_1$ a~$R_2$ n�hodnej veli�iny
		$\eta$ z~$\oper{R}(0, 1)$
	\item Vytvor�me ��sla \begin{tabular}[t]{ll}
			$w_1 = a + R_1 (b - a)$,	& tzn. $w_1$ z~$\oper{R}(a, b)$ \\
			$w_2 = M R_2$,				& tzn. $w_2$ z~$\oper{R}(0, M)$
		\end{tabular}
	\item Ak bod $P$ so s�radnicami $(w_1, w_2)$ bude le�a� pod krivkou
		$y = f_\xi(x)$, teda $w_2 \leq f_\xi(w_1)$, potom za n�hodn� ��slo
		vezmeme $\xi = w_1$. Ak podmienka nebude splnen�, generujeme nov�
		dvojicu $(R_1, R_2)$ a~prejdeme k bodu 1.
\end{enumerate}
\inputImage{neumann}{0.5\textwidth}{images/neumann}{Generovanie
n�hodn�ch ��sel von Neumannovou met�dou v�beru.}

% */

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Jednorozmern� model driftu nabit�ch �ast�c v~plyne}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{1rozmernyModel}

Najjednoduch��m pr�padom, v ktorom je mo�n� pou�i� met�du Monte Carlo,
je �t�dium oscil�ci� driftovej r�chlosti i�nov v~ aproxim�cii studen�ho
plynu s~uv�en�m rezonan�nej v�meny n�boja a~kon�tantnej strednej vo�nej
dr�hy (kapitola \refchapter{coldGas}). V~tomto pr�pade mo�no teoreticky
odvodi� �asov� z�vislos� driftovej r�chlosti, �o umo��uje porovna�
nasimulovan� v�sledky s teoretick�m priebehom.

V~pr�pade, �e za�neme bra� do �vahy tepeln� pohyb molek�l neutr�lneho
plynu, situ�cia sa mierne skomplikuje. Tento pr�pad je teoreticky
�tudovan� v kapitole \refchapter{hotGas}. Zatia� �o v modeli bez
tepeln�ho pohybu mo�no analyticky odvodi� �asov� priebeh driftovej
r�chlosti a zavies� bezrozmern� parametre, v~pr�pade s~tepeln�m pohybom
to u� mo�n� nie je.  Zavedenie bezrozmern�ch parametrov, ktor� umo��uje
z�ska� z�kony podobnosti, je v~pr�pade tepeln�ho pohybu zlo�itej�ie.

\subsection{Rezonan�n� v�mena n�boja v~aproxim�cii studen�ho plynu}
\label{coldGas}
%% /*

Teoretick� model rezonan�nej v�meny n�boja v~aproxim�cii studen�ho plynu
je zalo�en� na nasleduj�cich predpokladoch:
\begin{itemize}
	\item at�my (molekuly) neutr�lneho plynu sa nepohybuj�
	\item koncentr�cia i�nov v~neutr�lnom plyne je mal�
	\item po zr�ke i�nu s neutr�lnou molekulou m� i�n nulov� r�chlos�
		(symetrick� n�bojov� v�mena)
	\item n�bojov� v�mena nast�va okam�ite
	\item elektrick� pole, koncentr�cia molek�l neutr�lneho plynu a
		i�nov je nez�visl� od polohy
\end{itemize}

Pod�a predpokladov s� i�ny v~neutr�lnom plyne iba pr�mes. To umo��uje
vzh�adom na ich n�zku koncetr�ciu zanedba� zr�ky medzi i�nmi a~taktie�
predpoklada�, �e distribu�n� funkcia i�nov sp�tne neovplyv�uje
distribu�n� funkciu molek�l neutr�lneho plynu. �alej je pod�a
predpokladov elektrick� pole a koncentr�cia plynu a i�nov nez�visl� od
polohy, teda aj distribu�n� funkcia taktie� od polohy nez�vis�.
Boltzmannova rovnica sa potom redukuje na tvar

\begin{equation}
	\Partial{f(v,t)}{t} +
		a(t) \Partial{f(v,t)}{v}
	= - n |v| \sigma f(v,t)
	+	\frac{n}{V} \delta\left( \frac{v}{V} \right)
		\Int_{-\infty}^{+\infty} |v'| \sigma f(v',t) dv',
	\label{boltzmann}
\end{equation}

kde $n$ je koncentr�cia neutr�lneho plynu, $v$ r�chlos� i�nu, $\sigma$
��inn� prierez (predpoklad�me, �e nez�vis� od r�chlosti) a~$f(v,t)$ je
i�nov� distribu�n� funkcia. Prav� strana rovnice popisuje rezonan�n�
v�menu n�boja. Aby bol zachovan� bezrozmern� charakter Diracovej delta
funkcie a jej argumentu, mus�me zavies� kon�tantu $V$, ktor� m� rozmer
r�chlosti.

Rovnicu  \rov{boltzmann} mo�no normalizova� zaveden�m t�chto
substit�ci�:
\begin{equation}
	\tau	= t\sqrt{n\sigma a}, \qquad
	u		= v / V, \qquad
	V		= \sqrt{a / n\sigma}.
	\label{normalizacia}
\end{equation}
Po normaliz�cii dostaneme Boltzmannovu rovnicu v nasleduj�com tvare:
\begin{equation}
	\Partial{\varphi(u,\tau)}{\tau} + \Partial{\varphi(u,\tau)}{u}
	= - |u| \varphi(u,\tau) +
		\delta(u)
		\Int_{-\infty}^{+\infty} |u'| \varphi(u',\tau) du',
	\label{norm-boltzmann}
\end{equation}
kde $\varphi(u, \tau) = \frac{f(v,t)}{n_+}\frac{dv}{du}$ je bezrozmern�
distribu�n� funkcia i�nov normalizovan� na jednotku:
\begin{equation}
		\Int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(u,\tau) du = 1.
	\label{norm-podmienka}
\end{equation}


\subsubsection*{Analytick� rie�enie Boltzmannovej rovnice}
%% /*

Zaveden�m funkcie
\begin{equation}
	\Psi(\tau)	= \Int_{-\infty}^{+\infty} |u| \varphi(u,\tau) du
				= \Int_{0}^{+\infty} u [\varphi(u,\tau) + \varphi(-u,\tau)] du
	\label{Psi}
\end{equation}
mo�no rovnicu \rov{norm-boltzmann} previes� na tvar
\begin{equation}
	\Partial{\varphi}{\tau} +
		\Partial{\varphi}{u}
	= - |u| \varphi + \delta(u) \Psi(\tau).
	\label{norm-boltzmann-psi}
\end{equation}
�asov� z�vislos� driftovej r�chlosti i�nov je dan� vz�ahom
\begin{equation}
	u_d(\tau) = \Int_{-\infty}^{+\infty} u \varphi(u,\tau) du
	\label{u-drift}
\end{equation}
a~rovnica \rov{Psi} nadobudne tvar
\begin{equation}
	\Psi(\tau)	= u_d(\tau) + 2 \Int_{0}^{+\infty} u \varphi(-u,\tau) du
	\label{Psi-u-drift}
\end{equation}

%% podla Martisovitsa by teraz slo formalne riesenie, ja robim
%% podrobnejsie riesenie dif. rovnice \rov{norm-boltzmann-psi}
% /*
%Na rie�enie parci�lnej diferenci�lnej rovnice \rov{norm-boltzmann-psi}
%pou�ijeme vetu o~implicitnej funkcii (met�du charakterist�k). %% zosit Matika 3., str. 28
%H�ad�me implicitn� funkciu \mbox{$w = w(u, \tau, \varphi)$} tak�, aby
%pre rie�enie rovnice \rov{norm-boltzmann-psi} platilo
%$w(u, \tau, \varphi(u, \tau)) \equiv 0$. Pou�it�m uvedenej vety
%dostaneme vz�ah
%
%\begin{equation}
%	\Partial{w}{\tau} + \Partial{w}{u}
%	+ \left( - |u| \varphi + \delta(u) \Psi(\tau) \right)
%		\Partial{w}{\varphi}
%	= 0,
%	\label{norm-boltzmann-psi-z-implicit}
%\end{equation}
%z ktor�ho vypl�vaj� n�sledovn� oby�ajn� diferenci�lne rovnice
%\begin{eqnarray}
%	\Deriv{\tau}{s} & = & 1 \label{odr-coldGas2.9} \\
%%
%	\Deriv{u}{s}    & = & 1 \label{odr-coldGas2.10} \\
%%
%	\Deriv{\varphi}{s}    & = & - |u|\varphi + \Dirac(u)\Psi(\tau).
%							\label{odr-coldGas2.11}
%\end{eqnarray}
%Eliminovan�m diferenci�lu $ds$ z rovn�c \rov{odr-coldGas2.9}
%--~\rov{odr-coldGas2.11} dostaneme
% */

Parci�lnu diferenci�lnu rovnicu \rov{norm-boltzmann-psi} mo�no previes�
na syst�m oby�ajn�ch diferenci�lnych rovn�c \cite{Hronec}:

\begin{equation}
	\frac{d\tau}{1} =
	\frac{du}{1} =
	\frac{d\varphi}{-|u|\varphi + \Dirac(u)\Psi(\tau)}
	\label{odr-coldGas}
\end{equation}

a po �prav�ch dostaneme

\begin{eqnarray}
	u  & = & \tau + C_1 \label{charakteristika1} \\
	\frac{d\varphi}{du} & = & -|u|\varphi + \delta(u) \Psi(u - C_1),
	\label{odr-coldGas2.13}
\end{eqnarray}

pri�om sme u� do vz�ahu \rov{odr-coldGas2.13} za $\tau$ dosadili
% vz�ah \rov{charakteristika1}. %% toto spravilo skaredu rieku
predch�dzaj�ci vz�ah \rov{charakteristika1}.
Rie�enie nehomog�nnej diferenci�lnej rovnice
\rov{odr-coldGas2.13} h�ad�me v tvare $\varphi(u) = F(u)G(u)$.
To vedie k~s�stave dvoch oby�ajn�ch diferenci�lnych rovn�c

\begin{eqnarray}
	\frac{dF}{du} + |u|F  & = & 0 \label{difka1} \\
	F \frac{dG}{du}     & = & \delta(u) \Psi(u - C_1) \label{difka2}.
\end{eqnarray}
Rie�enie rovn�c \rov{difka1} a~\rov{difka2} je
\begin{eqnarray}
	F(u) & = &	C e^{\int_0^u-|x|dx} =
				C e^{-\frac{1}{2}u^2 \sgn\;u}
		\label{riesenie-part1} \\
%
	dG & = & \frac{1}{F(u)} \delta(u) \Psi(u - C_1) du \nonumber \\
%
	G(u)  & = & \frac{1}{C} \Int_0^u e^{\frac{1}{2}y^2\sgn\;y}
		\delta(y) \Psi(y - C_1) dy + K = \nonumber \\
		& = & \cases{	\frac{1}{C} \Psi(-C_1) + K, & u > 0 \cr
						0 + K, & u < 0} \\
%		& = & \left\{ \begin{array}{ll}
%			\frac{1}{C} \Psi(-C_1) + K, & u > 0 \\
%			& \\
%			0         + K, & u < 0
%		\end{array} \right. \nonumber \\
%
	G(u) & = & \frac{1}{C} \Heaviside(u) \Psi(-C_1) + K
		\label{riesenie-part2}
%%
\end{eqnarray}
Teda rie�enie rovnice \rov{odr-coldGas2.13} vyzer�
\begin{eqnarray}
	\varphi(u) & = & F(u)G(u) = [\Heaviside(u) \Psi(-C_1) + C_2]
		e^{-\frac{1}{2}u^2\sgn\;u}.
\end{eqnarray}

$\Heaviside(x)$ je Heavisideova skokov� funkcia definovan� vz�ahom
\rov{Heaviside-def}.  Kon�tantu $C_1$ vyjadr�me zo vz�ahu
\rov{charakteristika1}. Z vety o implicitnej funkcii v�ak vypl�va, �e
kon�tanta $C_2$ mus� by� nejakou funkciou kon�tanty $C_1$. Ozna�me t�to
funkciu ako $\Phi, C_2 =

\Phi(C_1) = \Phi(u - \tau)$. Po dosaden� m�me
\begin{eqnarray}
	\varphi(u, \tau) & = & [\Heaviside(u) \Psi(\tau - u) + \Phi(u - \tau)]
		e^{-\frac{1}{2}u^2\sgn\;u}.
\end{eqnarray}

Funkciu $\Phi(x)$ ur��me z po�iato�nej distribu�nej funkcie $\varphi(u,
0)$. Z poslednej rovnice ju m��eme vyjadri� ako
\begin{eqnarray}
	\Phi(x) = \varphi(x, 0) e^{\frac{1}{2}x^2\sgn\;x} - \Heaviside(x) \Psi(- x)
\end{eqnarray}

Sp�tn� dosadenie funkcie $\Phi(x)$ do v�eobecn�ho rie�enia n�m d�va
rie�enie iba pre \mbox{$\tau \ge 0$.} D�vodom je nevratnos� sk�man�ho
deja a~nami stanoven� po�iato�n� podmienka $\varphi(u, 0)$. Na�e
rie�enie sa preto m��e odv�ja� iba od tejto po�iato�nej podmienky.

\begin{eqnarray}
	\varphi(u, \tau) & = & [\Heaviside(u) - \Heaviside(u - \tau)]\Psi(\tau - u)
			e^{-\frac{1}{2}u^2\sgn\;u} + \nonumber \\
		& & + \; \varphi(u - \tau, 0)
			e^{\frac{1}{2}(u - \tau)^2\sgn\;(u - \tau) - \frac{1}{2}u^2\sgn\;u}.
		\label{distrib-1}
\end{eqnarray}

Predpokladajme teraz, �e v�etky i�ny sa v �ase $\tau = 0$ pohybuj� v
kladnom smere alebo s� v pokoji. Potom pre distribu�n� funkciu
$\varphi(u, \tau)$ plat�
\begin{equation}
	\varphi(u, 0) = 0, \qquad u < 0
\end{equation}
a vz�ah \rov{distrib-1} mo�no upravi� na tvar
\begin{eqnarray}
% dvojriadkovy zapis
%	\varphi(u, \tau) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
%		[1 - \Heaviside(u - \tau)] \Psi(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} + & \\
%			\quad + \; \varphi(u - \tau, 0)
%				e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)},
%			& \quad u \ge 0 \\
%		& \\
%		0, & \quad u < 0
%	\end{array} \right. \nonumber \\
% jednoriadkovy zapis
	\varphi(u, \tau) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
		[1 - \Heaviside(u - \tau)] \Psi(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} +
			\varphi(u - \tau, 0) e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)},
			& u \ge 0 \\
		& \\
		0, & u < 0
	\end{array} \right. %\nonumber \\
	\label{distrib-2}
\end{eqnarray}

Pod�a vz�ahu \rov{Psi-u-drift} potom pre funkciu $\Psi(x)$ plat�
$\Psi(x) = u_d(x)$. Dosaden�m distribu�nej funkcie \rov{distrib-2} do
integr�lnej rovnice pre driftov� r�chlos� \rov{u-drift} dostaneme
vyjadrenie

\begin{equation}
	u_d(\tau) = \Int_0^\tau u u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} du
		+ \Int_0^\infty u \varphi(u - \tau, 0)
				e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)} du.
	\label{driftova-rychlost}
\end{equation}


%% */

\subsubsection{Ust�len� hodnota driftovej r�chlosti a~rovnov�na
distribu�n� funkcia}
\label{section:driftova-rychlost}
% /*
Z normovacej podmienky \rov{norm-podmienka} a~rovnice pre distribu�n�
funkciu \rov{distrib-2} mo�no s~vyu�it�m rovnice  $\Psi(x) = u_d(x)$
vypo��ta� ust�len� hodnotu driftovej r�chlosti v~�ase $\tau = \infty$.
Integr�ciou rovnice \rov{distrib-2} a~na z�klade vlastnost� Heavisideovej
funkcie \rov{Heaviside-def} dostaneme

\begin{equation}
	1 = \Int_0^\tau u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} du +
		\Int_\tau^\infty \varphi(u - \tau, 0) e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)} du
	\label{xxx}
\end{equation}

V pr�pade, �e v �ase $\tau = 0$ s� i�ny v~pokoji (maj� nulov�
r�chlosti), je distribu�n� funkcia $\varphi(u, 0)$ delta funkciou.
Integr�ciou druh�ho �lena a~prechodom k~limite $\lim_{\tau \to \infty}$
dostaneme vz�ah

\begin{equation}
	1 = u_d(\infty)  \Int_0^\infty  e^{-\frac{1}{2}u^2} du +
	\lim_{\tau \to \infty} e^{-\frac{1}{2}\tau^2},
	\label{yyy}
\end{equation}

na z�klade ktor�ho pre ust�len� hodnotu driftovej r�chlosti vych�dza
rovnica

\begin{equation}
	u_d(\infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}.
	\label{udrift-intfy}
\end{equation}

Sp�tn�m dosaden�m do vz�ahu \rov{distrib-2} mo�no dosta� rovnov�nu
distribu�n� funkciu

\begin{equation}
	\varphi(u, \infty) =  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \Theta(u) e^{-\frac{1}{2}u^2}.
	\label{rovnovazna-distrib}
\end{equation}

% */

\subsubsection{Relax�cia monoenergetick�ho zv�zku}
% /*

Vz�ah \rov{distrib-2} umo��uje taktie� ur�i� �asov� priebeh driftovej
r�chlosti v~pr�pade, �e sa v�etky i�ny h�bu v~smere elekrick�ho po�a
spolo�nou r�chlos�ou $u_0$ a~v~�ase $\tau = 0$ je elektrick� pole
zapnut�. V~tomto pr�pade je potom po�iato�n� distribu�n� funkcia dan�
vz�ahom

\begin{equation}
	\varphi(u, 0) = \delta(u - u_0),
\end{equation}

teda rovnicu \rov{distrib-2} mo�no pre $u \ge 0, \tau \ge 0$ zap�sa� ako

\begin{equation}
	\varphi(u, \tau) = [1 - \Heaviside(u - \tau)] u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} +
			\delta(u - \tau - u_0) e^{\frac{1}{2}u_0^2}
				e^{-\frac{1}{2}(u_0 + \tau)^2}.
	\label{distrib-start-speed}
\end{equation}

Na z�klade vz�ahu \rov{driftova-rychlost} dostaneme pre �asov� priebeh
driftovej r�chlosti vz�ah

\begin{equation}
	u_d(\tau) = \Int_0^\tau u u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} du
			+ (\tau + u_0) e^{\frac{1}{2}u_0^2}
				e^{-\frac{1}{2}(u_0 + \tau)^2}.
	\label{driftova-rychlost-start-speed}
\end{equation}



% */

\subsubsection{V�po�et �asu medzi dvomi zr�kami}
% /*

V aproxim�cii studen�ho plynu sa molekuly neutr�lneho plynu nepohybuj�.
Ak na i�n silovo p�sob� iba ur�ch�uj�ce homog�nne pole, i�n sa pohybuje
rovnomerne zr�chlene s~nulovou po�iato�nou r�chlos�ou (uva�ujeme
rezonan�n� v�menu n�boja a~tak v d�sledku rovnakej hmotnosti i�nu a
molekuly neutr�lneho plynu d�jde k v�mene r�chlost� medzi i�nom
a~neutr�lnou molekulou).  Potom mo�no dobu medzi dvomi zr�kami r�ta�
priamo pod�a vz�ahu

\begin{equation}
	t = \sqrt{\frac{2\lambda}{a}}
	\label{coldGas-time}
\end{equation}

kde $a$ je zr�chlenie p�sobiace na nabit� �asticu a~$\lambda$ je vo�n�
dr�ha. %Vz�ah \rov{coldGas-time} netreba ch�pa� ako vzorec na v�po�et
%presnej ��selnej hodnoty �asu medzi dvomi zr�kami, ale treba ho ch�pa�
%�tatisticky. Dr�ha, ktor� prelet� i�n bez toho, aby sa zrazil toti� nie
%je presne definovan� hodnota, ale je to n�hodn� premenn� s~dan�m
%rozdelen�m.

% */

%% aproximacia studeneho plynu */


\subsection{Rezonan�n� v�mena n�boja s~uv�en�m tepeln�ho pohybu molek�l
neutr�lneho plynu}
\label{hotGas}
%% uvazenie tepelneho pohybu molekul /*

�t�dium tohto javu vych�dza z predo�l�ch �vah a platia predpoklady
uveden� v~kapitole \refchapter{coldGas}. Tentoraz sa v�ak
nepredpoklad�, �e molekuly neutr�lneho plynu s� v pokoji (nepohybuj�
sa), ale �e sa pohybuj� tepeln�mi r�chlos�ami. Preto po zr�ke i�nu s
molekulou neutr�lneho plynu i�n z�ska tepeln� r�chlos� danej molekuly.
Pre plyn s teplotou $T_g$ je r�chlostn� rozdelenie molek�l neutr�lneho
plynu dan� Maxwellov�m rozdelen�m (jednorozmern� pr�pad)

\begin{equation}
	f(v_x) dv_x = \frac{1}{\sqrt{\pi}v_T} \exp\left(
	-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x,
	\label{fvTg}
\end{equation}

kde $v_T = \sqrt{\frac{2kT_g}{m_g}}$ je najpravdepodobnej�ia tepeln�
r�chlos� molekuly neutr�lneho plynu, $k$~Boltzmannova kon�tanta, $T_g$
teplota neutr�lneho plynu a~$m_g$ hmotnos� molekuly neutr�lneho plynu.

Pri uv�en� tepeln�ho pohybu mus�me �as medzi dvomi zr�kami $t$ r�ta�
z~kvadratickej rovnice pre rovnomerne zr�chlen� pohyb. Fyzik�lna
predstava je nasledovn�: predpoklad�me, �e na i�n p�sob� kon�tantn�
zr�chlenie $a$. I�n �tartuje s po�iato�nou n�hodnou tepelnou r�chlos�ou
$v_0$ (generovanou z rozdelenia pod�a vz�ahu \rov{fvTg}). Vo�n�
dr�hu $\lambda$ prejde i�n rovnomerne zr�chlene (spomalene) za �as $t$.
Poloha, v ktorej sa i�n bude nach�dza� v �ase $t$, je dan� vz�ahom

\begin{equation}
	x = \polovica a t^2 + v_0 t.
	\label{draha-ionu}
\end{equation}
\inputImage[tb]{drahy}{\textwidth}{images/drahy}
{R�chlos� i�nu v z�vislosti od jeho polohy pre r�zne hodnoty po�iato�nej
r�chlosti a~zr�chlenia}%

Tento vz�ah je nutn� analyzova� podrobnej�ie. Ako si mo�no v�imn�� na
obr�zku \refimage{drahy}, pri vhodne \uv{zvolen�ch}\footnote{pri
numerick�ch v�po�toch sa vo�n� dr�ha $\lambda$ a~po�iato�n� r�chlos�
i�nu $v_0$ generuj� n�hodne pod�a pr�slu�n�ch distribu�n�ch funkci�}
parametroch $\lambda$, $a$ a~$v_0$ m��e nasta� pr�pad, �e i�n zmen� smer
letu sk�r, ako uraz� dr�hu $\lambda$ -- vo�n� dr�hu. V~literat�re sa
tento pr�pad nerie�i a~autori sa sna�ia vzniknut� situ�ciu ob�s�. Ke�e
na�ou snahou je navrhn�� program, ktor� bude datailne simulova�
jednotliv� �astice, mus�me tento probl�m vyrie�i�. Ako rie�enie sa
pon�ka interpretova� vo�n� dr�hu $\lambda$ ako absol�tnu hodnotu dr�hy,
ktor� mus� i�n prejs�, aby do�lo k~zr�ke. Detailn� rie�enie probl�mu je
zhrnut� v~nasleduj�cich bodoch:

\begin{description}
	\item[$\mathbf{a = 0 \AND v_0 = 0}$] \quad -- na i�ny nep�sob�
		ur�ch�uj�ce pole a~po�iato�n� r�chlos� i�nu je nulov�. �as medzi
		dvomi zr�kami je $t = \infty$, teda i�n nebude driftova�.

	\item[$\mathbf{(sgn\;a = sgn\;v_0) \AND ( a \neq 0 \OR v_0 \neq 0)}$]
		\quad -- r�chlos� a zr�chlenie i�nu maj� s�hlasn� znamienka a
		aspo� jeden z parametrov je nenulov�.  V~tomto pr�pade mo�no �as
		medzi dvomi zr�kami vyr�ta� ako

		\begin{equation}
			t = \frac{2\lambda}{|v_0| + \sqrt{v_0^2 + 2|a|\lambda}}.
			\label{cas-medzi-zrazkami-1}
		\end{equation}

	\item[$\mathbf{sgn\;a \neq sgn\;v_0 }$] \quad -- znamienka r�chlosti
		a~zr�chlenia s� opa�n�.  Ak $v_0 \leq \sqrt{2\lambda|a|}$, na
		vzdialenosti men�ej ako $\lambda$ nadobudne i�n nulov� r�chlos�
		a~vplyvom zr�chlenia sa za�ne pohybova� opa�ne.  I�n nadobudne
		nulov� r�chlos� za �as $t_1 = \frac{|v_0|}{|a|}$ a~za tento
		�asov� �sek prelet� dr�hu $\lambda_1 = \frac{v_0^2}{2|a|}$. Aby
		nastala �al�ia zr�ka, mus� i�n preletie� e�te dr�hu $\lambda_2
		= \lambda - \lambda_1 = \lambda - \frac{v_0^2}{2|a|}$. Tento
		�sek prelet� i�n za �as $$t_2 = \frac{\sqrt{2\lambda|a| -
		v_0^2}}{|a|}.$$ Celkov� �as, ktor� potreboval i�n na ubehnutie
		vo�nej dr�hy teda je

		\begin{equation}
			t = t_1 + t_2 = \frac{|v_0| + \sqrt{2|a|\lambda - v_0^2}}{|a|}.
			\label{cas-medzi-zrazkami-2}
		\end{equation}

		Naopak, ak plat� $|v_0| \geq \sqrt{2\lambda|a|}$, smer pohybu i�nu
		sa na vzdialenosti men�ej ako $\lambda$ nezmen� a pre �as medzi
		dvomi zr�kami plat�

		\begin{equation}
			t = \frac{2\lambda}{|v_0| + \sqrt{v_0^2 - 2|a|\lambda}}.
			\label{cas-medzi-zrazkami-3}
		\end{equation}
\end{description}

Vz�ahy \rov{cas-medzi-zrazkami-1} a \rov{cas-medzi-zrazkami-3} mo�no
nahradi� spolo�n�m vyjadren�m, ktor� bude plati� v obidvoch pr�padoch.
Pre tieto ��ely definujme\footnote{korektn� matematick� defin�cia je
$\sgn\;0 \equiv 0$} $\sgn\;0 \equiv 1$, ��m sa zahrn� aj pr�pady \\
$a = 0 \OR v_0 = 0$:
\begin{equation}
	t = \frac{2\lambda}{|v_0| + \sqrt{v_0^2 + 2a\lambda\,\sgn\;v_0}}.
	\label{cas-medzi-zrazkami}
\end{equation}


\subsubsection{Zavedenie bezrozmern�ch premenn�ch}

Ak uv�ime tepeln� pohyb molek�l neutr�lneho plynu, i�n po zr�ke u�
nebude �tartova� s~nulovou po�iato�nou r�chlos�ou, ale s~r�chlos�ou
$v_0$, ktor� mala neutr�lna molekula tesne pred zr�kou (i�n a neutr�lna
molekula si vzh�adom na rovnak� hmotnosti vymenia r�chlosti). T�to
po�iato�n� r�chlos� je dan� Maxwellovsk�m rozdelen�m. V~homog�nnom
elektrickom poli bude poloha a~r�chlos� i�nu dan� rovnicami

\begin{eqnarray}
	x & = & \frac{1}{2}at^2 + v_0t \\
	v & = & at + v_0
	\label{zakladne-rovnice}
\end{eqnarray}

Na z�klade t�chto rovn�c mo�no zavies� bezrozmern� parametre. Nech

\begin{eqnarray}
	x & = & K_x \xi		\\
	v & = & K_v u		\\
	t & = & K_t \tau
	\label{normalizacia-T-nenulove}
\end{eqnarray}

kde $K_x, K_v, K_t$ s� normaliza�n� kon�tanty pre polohu, r�chlos� a~�as
a~$\xi, u, \tau$ s� pr�slu�n� bezrozmern� premenn�. Potom rovnicu
\rov{zakladne-rovnice} mo�no zap�sa� ako

\begin{eqnarray}
	\xi & = & \frac{1}{2}\frac{aK_t^2}{K_x}\tau^2 + \frac{K_vK_t}{K_x}u_0\tau
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x} \\
	u   & = & \frac{aK_t}{K_v}\tau + u_0
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v}
\end{eqnarray}

Nech normaliza�n� koeficienty r�chlosti a~polohy s�

\begin{equation}
	K_v = v_T = \sqrt{\frac{2 k T_g}{m_g}}	\qquad K_x = \<\lambda>,
	\label{norm-koef-K_v}
\end{equation}

kde $k$ je Boltzmannova kon�tanta, $T_g$ teplota neutr�lneho plynu,
$m_g$ hmotnos� neutr�lnej molekuly a~$\<\lambda>$ stredn� vo�n� dr�ha.
Polo�me

\begin{equation}
	\frac{K_vK_t}{K_x} = 1
\end{equation}

a~ozna�me ako parameter $\alpha$ s�bor kon�t�nt

\begin{equation}
	\alpha	= \frac{aK_t^2}{K_x}
			= \frac{a \<\lambda>}{v_T^2}.
	\label{alpha}
\end{equation}

�ahko mo�no nahliadnu�, �e parameter $\alpha$ ud�va pomer medzi energiou
i�nu dodanou elektrick�m po�om na strednej vo�nej dr�he a~tepelnou
energiou i�nu. Koeficient $\alpha$ teda ur�uje, �i sa jedn� o slab�
($\alpha < 1$) alebo o siln� ($\alpha > 1$) pole.

Rovnice \rov{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x}
a~\rov{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v} po �prave vyzeraj�
nasledovne:

\begin{eqnarray}
	\xi & = & \frac{1}{2}\alpha\tau^2 + u_0\tau
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x-alpha} \\
	u   & = & \alpha\tau + u_0
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v-alpha}
\end{eqnarray}



%% Ozna�me
%% 
%% \begin{eqnarray}
%% 	A = & \displaystyle \frac{aK_t^2}{K_x}	\qquad & B = \frac{K_vK_t}{K_x} \nonumber \\
%% 	C = & \displaystyle \frac{aK_t}{K_v}	\qquad & D = 1 \nonumber
%% \end{eqnarray}
%% 
%% teda rovnice \rov{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x}
%% a~\rov{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v} prep��eme ako 
%% 
%% \begin{eqnarray}
%% 	\xi & = & \frac{1}{2}A\tau^2 + B\tau
%% 	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x-ABCD} \\
%% 	u   & = & C\tau + u_0
%% 	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v-ABCD}
%% \end{eqnarray}
 
%% */ uvazenie tepelneho pohybu molekul


% vim: ts=4 isk+=-
% vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=3 fmr=/*,*/

