%
% '03-teoret.tex' created: Tue Dec 10 16:18:26 2002
%
% Developed by Lubomir Host 'rajo' <rajo AT platon.sk>
% Copyright (c) 2003 Platon SDG
% Licensed under terms of GNU General Public License.
% All rights reserved.
%

% $Platon$

\chapter{Fyzikálna formulácia problému}

\section{Rezonančná výmena náboja}

Proces rezonančnej výmeny náboja je interakcia medzi atómom neutrálneho
plynu a~jeho iónom. Túto reakciu možno zapísať rovnicou

\begin{eqnarray}
	A^\pm + A(nl) & \longrightarrow & A(n'l') + A^\pm %\\
%	A^\pm_2 + A_2(\Lambda) & \longrightarrow & A(\Lambda') + A^\pm_2
.
	\label{reakcia}
\end{eqnarray}

Reakcia je spojená s procesom prechodu valenčného elektrónu cez
potenciálovú bariéru v~príťažlivom poli susedných častíc.  V~ideálnom
prípade nedochádza k~prenosu hybnosti medzi iónom a~neutrálnym atómom.
Dôvodom je približne rovnaká hmotnosť iónu a~neutrálneho atómu, kedže
hmotnosť elektrónu možno vzhľadom na hmotnosť atómu zanedbať. Takto
prenos náboja z~iónu na neutrálny atóm produkuje ión s~tepelnou
rýchlosťou. V~aproximácii studeného plynu možno túto energiu zanedbať.
Prípadne možno použiť limitný prechod k~silným poliam. Použitím tejto
aproximácie možno predpokladať, že po každej zrážke (procese rezonančnej
výmeny) ión štartuje z~pokoja. Časový priebeh rýchlosti iónu je
znázornený na obrázku \refimage{rychlost-ionu}.

\inputImage{rychlost-ionu}{0.5\textwidth}{images/rychlost-ionu}
{Schématické znázornenie priebehu rýchlosti iónu a~ubehnutej dráhy
v~závislosti od času v~aproximácii studeného plynu (bezrozmerné jednotky).}



\section{Generovanie distribučných funkcií}
\label{generovanie}
% /*

Výpočet metódou Monte Carlo predpokladá modelovanie náhodného procesu
pomocou operácií s~náhodnými číslami. Podmienkou úspechu je možnosť
náhodný proces mnohonásobne opakovať. K~tomu je potrebné mať dostatočný
počet náhodných čísel s~najrozličnejšími pravdepodobnosťami
$F_\xi(x)$ (distribučnými funkciami $f_\xi(x)$).  Ako z~ďalšieho
vyplynie, nie je potrebné zostrojovať špeciálne generátory náhodných
čísel pre každý typ distribučnej funkcie. Vystačíme si s~generátorom
náhodných čísel $\oper{R}(0, 1)$ s~rovnomerným rozdelením na intervale
$(0, 1)$. Náhodné veličiny s~iným typom rozdelenia potom možno získať
z~$\oper{R}(0, 1)$ niektorou z~uvedených metód.

Náhodné čísla možno získať rozličným spôsobom. Najjednoduchším
z~generátorov je obyčajná hracia kocka, ktorá poskytuje náhodné číslice
$1, 2, \dots, 6$. Tento generátor je však pri numerických výpočtoch
robených počítačom nepoužiteľný. Ako použiteľný by mohol byť fyzikálny
generátor pripojený k~počítaču, ktorý by v~okamihu potreby generoval
náhodné číslo. Tento typ generátora je založený na analýze náhodných
fyzikálnych procesov, ako je radioaktívny rozpad, šum elektronických
prvkov a~pod. Tento typ generátora predstavuje externé zariadenie
pripojené k~počítaču a~nie je preto bežne používaný.

Dominujúcim typom generátora náhodných čísel je v~dnešnej dobe typ
založený na aritmetických procedúrach. Náhodné čísla sa vytvárajú
pomocou špeciálnych rekurentných vzorcov. V~pravom zmysle slova sa preto
nejedná o~náhodné čísla, lebo sú generované prísne deterministickým
spôsobom. Takto generované čísla sa nazývajú pseudonáhodné čísla. Tieto
náhodné čísla možno získavať priamo počítačom dostatočne rýchlo
a~v~dostatočnom počte. Nie je podstatné, akým spôsobom náhodné
(pseudonáhodné) čísla získame, ale nesmierne dôležité je, aby čísla
vyhovovali štatistickým testom.

V~tejto časti popíšeme základné spôsoby generovania náhodných čísel,
ktoré boli použité pri implementácii metódy Monte Carlo. Jedná sa
o~metódu inverznej funkcie (kapitola \refchapter{inverse-method})
a~von~Neumannovu metódu (kapitola \refchapter{neumann-method}).

\subsection{Metóda inverznej funkcie}
\label{inverse-method}

Táto metóda generovania náhodných čísel je založená na nasledujúcej vete:

%Nech $F(x)$ je distribučná funkcia, $F^{-1}(y) = \sup\{x \in
%\mathbb{R}, F(x) \leq y\}$, $0 < y < 1$, je zodpovedajúca kvantilová
%funkcia a nech náhodná veličina $Y$ má rovnomerné rozdelenie
%$\oper{R}(0, 1)$. Potom veličina $X = F^{-1}(Y)$ má rozdelenie s
%distribučnou funkciou $F(x)$.

Ak náhodná veličina $\xi$ má distribučnú funkciu $f_\xi(x)$, potom
rozdelenie náhodnej veličiny

\begin{equation}
	\eta = \Int_{-\infty}^{\xi} f_\xi(x) dx
	\label{eta}
\end{equation}

je rovnomerné na intervale $(0, 1)$.

Transformácia náhodných čísel $R_i$ rovnomerne rozložených na intervale
$(0, 1)$ %, $R_i \in \oper{R}(0,1)$ 
na náhodné čísla $x_i$ s~daným rozložením $f_\xi(x)$ sa potom
dostáva riešením rovnice

\begin{equation}
	\Int_{-\infty}^{x_i} f_\xi(x) dx = R_i
	\label{xi}
\end{equation}

Táto metóda sa používa na generovania náhodných čísel
s~pravdepodobnosťou $F_\xi(x)$ v~tých prípadoch, keď vieme
$F_\xi^{-1}(y)$ jednoducho vypočítať. 

\subsection{Neumannova metóda}
\label{neumann-method}

Táto metóda pochádza od \bibauthor{J. von Neumanna} a~niekedy sa táto
metóda nazýva aj metódou výberu. Používa sa najmä v~prípadoch, kedy
nemožno analyticky vyjadriť inverznú funkciu $F_\xi^{-1}(y)$.

Nech distribučná funkcia $f_\xi(x)$ náhodnej veličiny $\xi$ je
ohraničená na intervale $(a, b)$. Označme $M = \sup\{f_\xi(x), a < x <
b\}$. Vygenerovanie náhodnej hodnoty veličiny $\xi$ potom prebieha
následovne (viď. obrázok \refimage{neumann}):
\begin{enumerate}
	\item Vygenerujeme dve hodnoty $R_1$ a~$R_2$ náhodnej veličiny
		$\eta$ z~$\oper{R}(0, 1)$
	\item Vytvoríme čísla \begin{tabular}[t]{ll}
			$w_1 = a + R_1 (b - a)$,	& tzn. $w_1$ z~$\oper{R}(a, b)$ \\
			$w_2 = M R_2$,				& tzn. $w_2$ z~$\oper{R}(0, M)$
		\end{tabular}
	\item Ak bod $P$ so súradnicami $(w_1, w_2)$ bude ležať pod krivkou
		$y = f_\xi(x)$, teda $w_2 \leq f_\xi(w_1)$, potom za náhodné číslo
		vezmeme $\xi = w_1$. Ak podmienka nebude splnená, generujeme novú
		dvojicu $(R_1, R_2)$ a~prejdeme k bodu 1.
\end{enumerate}
\inputImage{neumann}{0.5\textwidth}{images/neumann}{Generovanie
náhodných čísel von Neumannovou metódou výberu.}

% */

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Jednorozmerný model driftu nabitých častíc v~plyne}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{1rozmernyModel}

Najjednoduchším prípadom, v ktorom je možné použiť metódu Monte Carlo,
je štúdium oscilácií driftovej rýchlosti iónov v~ aproximácii studeného
plynu s~uvážením rezonančnej výmeny náboja a~konštantnej strednej voľnej
dráhy (kapitola \refchapter{coldGas}). V~tomto prípade možno teoreticky
odvodiť časovú závislosť driftovej rýchlosti, čo umožňuje porovnať
nasimulované výsledky s teoretickým priebehom.

V~prípade, že začneme brať do úvahy tepelný pohyb molekúl neutrálneho
plynu, situácia sa mierne skomplikuje. Tento prípad je teoreticky
študovaný v kapitole \refchapter{hotGas}. Zatiaľ čo v modeli bez
tepelného pohybu možno analyticky odvodiť časový priebeh driftovej
rýchlosti a zaviesť bezrozmerné parametre, v~prípade s~tepelným pohybom
to už možné nie je.  Zavedenie bezrozmerných parametrov, ktoré umožňuje
získať zákony podobnosti, je v~prípade tepelného pohybu zložitejšie.

\subsection{Rezonančná výmena náboja v~aproximácii studeného plynu}
\label{coldGas}
%% /*

Teoretický model rezonančnej výmeny náboja v~aproximácii studeného plynu
je založený na nasledujúcich predpokladoch:
\begin{itemize}
	\item atómy (molekuly) neutrálneho plynu sa nepohybujú
	\item koncentrácia iónov v~neutrálnom plyne je malá
	\item po zrážke iónu s neutrálnou molekulou má ión nulovú rýchlosť
		(symetrická nábojová výmena)
	\item nábojová výmena nastáva okamžite
	\item elektrické pole, koncentrácia molekúl neutrálneho plynu a
		iónov je nezávislá od polohy
\end{itemize}

Podľa predpokladov sú ióny v~neutrálnom plyne iba prímes. To umožňuje
vzhľadom na ich nízku koncetráciu zanedbať zrážky medzi iónmi a~taktiež
predpokladať, že distribučná funkcia iónov spätne neovplyvňuje
distribučnú funkciu molekúl neutrálneho plynu. Ďalej je podľa
predpokladov elektrické pole a koncentrácia plynu a iónov nezávislá od
polohy, teda aj distribučná funkcia taktiež od polohy nezávisí.
Boltzmannova rovnica sa potom redukuje na tvar

\begin{equation}
	\Partial{f(v,t)}{t} +
		a(t) \Partial{f(v,t)}{v}
	= - n |v| \sigma f(v,t)
	+	\frac{n}{V} \delta\left( \frac{v}{V} \right)
		\Int_{-\infty}^{+\infty} |v'| \sigma f(v',t) dv',
	\label{boltzmann}
\end{equation}

kde $n$ je koncentrácia neutrálneho plynu, $v$ rýchlosť iónu, $\sigma$
účinný prierez (predpokladáme, že nezávisí od rýchlosti) a~$f(v,t)$ je
iónová distribučná funkcia. Pravá strana rovnice popisuje rezonančnú
výmenu náboja. Aby bol zachovaný bezrozmerný charakter Diracovej delta
funkcie a jej argumentu, musíme zaviesť konštantu $V$, ktorá má rozmer
rýchlosti.

Rovnicu  \rov{boltzmann} možno normalizovať zavedením týchto
substitúcií:
\begin{equation}
	\tau	= t\sqrt{n\sigma a}, \qquad
	u		= v / V, \qquad
	V		= \sqrt{a / n\sigma}.
	\label{normalizacia}
\end{equation}
Po normalizácii dostaneme Boltzmannovu rovnicu v nasledujúcom tvare:
\begin{equation}
	\Partial{\varphi(u,\tau)}{\tau} + \Partial{\varphi(u,\tau)}{u}
	= - |u| \varphi(u,\tau) +
		\delta(u)
		\Int_{-\infty}^{+\infty} |u'| \varphi(u',\tau) du',
	\label{norm-boltzmann}
\end{equation}
kde $\varphi(u, \tau) = \frac{f(v,t)}{n_+}\frac{dv}{du}$ je bezrozmerná
distribučná funkcia iónov normalizovaná na jednotku:
\begin{equation}
		\Int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(u,\tau) du = 1.
	\label{norm-podmienka}
\end{equation}


\subsubsection*{Analytické riešenie Boltzmannovej rovnice}
%% /*

Zavedením funkcie
\begin{equation}
	\Psi(\tau)	= \Int_{-\infty}^{+\infty} |u| \varphi(u,\tau) du
				= \Int_{0}^{+\infty} u [\varphi(u,\tau) + \varphi(-u,\tau)] du
	\label{Psi}
\end{equation}
možno rovnicu \rov{norm-boltzmann} previesť na tvar
\begin{equation}
	\Partial{\varphi}{\tau} +
		\Partial{\varphi}{u}
	= - |u| \varphi + \delta(u) \Psi(\tau).
	\label{norm-boltzmann-psi}
\end{equation}
Časová závislosť driftovej rýchlosti iónov je daná vzťahom
\begin{equation}
	u_d(\tau) = \Int_{-\infty}^{+\infty} u \varphi(u,\tau) du
	\label{u-drift}
\end{equation}
a~rovnica \rov{Psi} nadobudne tvar
\begin{equation}
	\Psi(\tau)	= u_d(\tau) + 2 \Int_{0}^{+\infty} u \varphi(-u,\tau) du
	\label{Psi-u-drift}
\end{equation}

%% podla Martisovitsa by teraz slo formalne riesenie, ja robim
%% podrobnejsie riesenie dif. rovnice \rov{norm-boltzmann-psi}
% /*
%Na riešenie parciálnej diferenciálnej rovnice \rov{norm-boltzmann-psi}
%použijeme vetu o~implicitnej funkcii (metódu charakteristík). %% zosit Matika 3., str. 28
%Hľadáme implicitnú funkciu \mbox{$w = w(u, \tau, \varphi)$} takú, aby
%pre riešenie rovnice \rov{norm-boltzmann-psi} platilo
%$w(u, \tau, \varphi(u, \tau)) \equiv 0$. Použitím uvedenej vety
%dostaneme vzťah
%
%\begin{equation}
%	\Partial{w}{\tau} + \Partial{w}{u}
%	+ \left( - |u| \varphi + \delta(u) \Psi(\tau) \right)
%		\Partial{w}{\varphi}
%	= 0,
%	\label{norm-boltzmann-psi-z-implicit}
%\end{equation}
%z ktorého vyplývajú následovné obyčajné diferenciálne rovnice
%\begin{eqnarray}
%	\Deriv{\tau}{s} & = & 1 \label{odr-coldGas2.9} \\
%%
%	\Deriv{u}{s}    & = & 1 \label{odr-coldGas2.10} \\
%%
%	\Deriv{\varphi}{s}    & = & - |u|\varphi + \Dirac(u)\Psi(\tau).
%							\label{odr-coldGas2.11}
%\end{eqnarray}
%Eliminovaním diferenciálu $ds$ z rovníc \rov{odr-coldGas2.9}
%--~\rov{odr-coldGas2.11} dostaneme
% */

Parciálnu diferenciálnu rovnicu \rov{norm-boltzmann-psi} možno previesť
na systém obyčajných diferenciálnych rovníc \cite{Hronec}:

\begin{equation}
	\frac{d\tau}{1} =
	\frac{du}{1} =
	\frac{d\varphi}{-|u|\varphi + \Dirac(u)\Psi(\tau)}
	\label{odr-coldGas}
\end{equation}

a po úpravách dostaneme

\begin{eqnarray}
	u  & = & \tau + C_1 \label{charakteristika1} \\
	\frac{d\varphi}{du} & = & -|u|\varphi + \delta(u) \Psi(u - C_1),
	\label{odr-coldGas2.13}
\end{eqnarray}

pričom sme už do vzťahu \rov{odr-coldGas2.13} za $\tau$ dosadili
% vzťah \rov{charakteristika1}. %% toto spravilo skaredu rieku
predchádzajúci vzťah \rov{charakteristika1}.
Riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice
\rov{odr-coldGas2.13} hľadáme v tvare $\varphi(u) = F(u)G(u)$.
To vedie k~sústave dvoch obyčajných diferenciálnych rovníc

\begin{eqnarray}
	\frac{dF}{du} + |u|F  & = & 0 \label{difka1} \\
	F \frac{dG}{du}     & = & \delta(u) \Psi(u - C_1) \label{difka2}.
\end{eqnarray}
Riešenie rovníc \rov{difka1} a~\rov{difka2} je
\begin{eqnarray}
	F(u) & = &	C e^{\int_0^u-|x|dx} =
				C e^{-\frac{1}{2}u^2 \sgn\;u}
		\label{riesenie-part1} \\
%
	dG & = & \frac{1}{F(u)} \delta(u) \Psi(u - C_1) du \nonumber \\
%
	G(u)  & = & \frac{1}{C} \Int_0^u e^{\frac{1}{2}y^2\sgn\;y}
		\delta(y) \Psi(y - C_1) dy + K = \nonumber \\
		& = & \cases{	\frac{1}{C} \Psi(-C_1) + K, & u > 0 \cr
						0 + K, & u < 0} \\
%		& = & \left\{ \begin{array}{ll}
%			\frac{1}{C} \Psi(-C_1) + K, & u > 0 \\
%			& \\
%			0         + K, & u < 0
%		\end{array} \right. \nonumber \\
%
	G(u) & = & \frac{1}{C} \Heaviside(u) \Psi(-C_1) + K
		\label{riesenie-part2}
%%
\end{eqnarray}
Teda riešenie rovnice \rov{odr-coldGas2.13} vyzerá
\begin{eqnarray}
	\varphi(u) & = & F(u)G(u) = [\Heaviside(u) \Psi(-C_1) + C_2]
		e^{-\frac{1}{2}u^2\sgn\;u}.
\end{eqnarray}

$\Heaviside(x)$ je Heavisideova skoková funkcia definovaná vzťahom
\rov{Heaviside-def}.  Konštantu $C_1$ vyjadríme zo vzťahu
\rov{charakteristika1}. Z vety o implicitnej funkcii však vyplýva, že
konštanta $C_2$ musí byť nejakou funkciou konštanty $C_1$. Označme túto
funkciu ako $\Phi, C_2 =

\Phi(C_1) = \Phi(u - \tau)$. Po dosadení máme
\begin{eqnarray}
	\varphi(u, \tau) & = & [\Heaviside(u) \Psi(\tau - u) + \Phi(u - \tau)]
		e^{-\frac{1}{2}u^2\sgn\;u}.
\end{eqnarray}

Funkciu $\Phi(x)$ určíme z počiatočnej distribučnej funkcie $\varphi(u,
0)$. Z poslednej rovnice ju môžeme vyjadriť ako
\begin{eqnarray}
	\Phi(x) = \varphi(x, 0) e^{\frac{1}{2}x^2\sgn\;x} - \Heaviside(x) \Psi(- x)
\end{eqnarray}

Spätné dosadenie funkcie $\Phi(x)$ do všeobecného riešenia nám dáva
riešenie iba pre \mbox{$\tau \ge 0$.} Dôvodom je nevratnosť skúmaného
deja a~nami stanovená počiatočná podmienka $\varphi(u, 0)$. Naše
riešenie sa preto môže odvíjať iba od tejto počiatočnej podmienky.

\begin{eqnarray}
	\varphi(u, \tau) & = & [\Heaviside(u) - \Heaviside(u - \tau)]\Psi(\tau - u)
			e^{-\frac{1}{2}u^2\sgn\;u} + \nonumber \\
		& & + \; \varphi(u - \tau, 0)
			e^{\frac{1}{2}(u - \tau)^2\sgn\;(u - \tau) - \frac{1}{2}u^2\sgn\;u}.
		\label{distrib-1}
\end{eqnarray}

Predpokladajme teraz, že všetky ióny sa v čase $\tau = 0$ pohybujú v
kladnom smere alebo sú v pokoji. Potom pre distribučnú funkciu
$\varphi(u, \tau)$ platí
\begin{equation}
	\varphi(u, 0) = 0, \qquad u < 0
\end{equation}
a vzťah \rov{distrib-1} možno upraviť na tvar
\begin{eqnarray}
% dvojriadkovy zapis
%	\varphi(u, \tau) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
%		[1 - \Heaviside(u - \tau)] \Psi(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} + & \\
%			\quad + \; \varphi(u - \tau, 0)
%				e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)},
%			& \quad u \ge 0 \\
%		& \\
%		0, & \quad u < 0
%	\end{array} \right. \nonumber \\
% jednoriadkovy zapis
	\varphi(u, \tau) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
		[1 - \Heaviside(u - \tau)] \Psi(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} +
			\varphi(u - \tau, 0) e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)},
			& u \ge 0 \\
		& \\
		0, & u < 0
	\end{array} \right. %\nonumber \\
	\label{distrib-2}
\end{eqnarray}

Podľa vzťahu \rov{Psi-u-drift} potom pre funkciu $\Psi(x)$ platí
$\Psi(x) = u_d(x)$. Dosadením distribučnej funkcie \rov{distrib-2} do
integrálnej rovnice pre driftovú rýchlosť \rov{u-drift} dostaneme
vyjadrenie

\begin{equation}
	u_d(\tau) = \Int_0^\tau u u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} du
		+ \Int_0^\infty u \varphi(u - \tau, 0)
				e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)} du.
	\label{driftova-rychlost}
\end{equation}


%% */

\subsubsection{Ustálená hodnota driftovej rýchlosti a~rovnovážna
distribučná funkcia}
\label{section:driftova-rychlost}
% /*
Z normovacej podmienky \rov{norm-podmienka} a~rovnice pre distribučnú
funkciu \rov{distrib-2} možno s~využitím rovnice  $\Psi(x) = u_d(x)$
vypočítať ustálenú hodnotu driftovej rýchlosti v~čase $\tau = \infty$.
Integráciou rovnice \rov{distrib-2} a~na základe vlastností Heavisideovej
funkcie \rov{Heaviside-def} dostaneme

\begin{equation}
	1 = \Int_0^\tau u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} du +
		\Int_\tau^\infty \varphi(u - \tau, 0) e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)} du
	\label{xxx}
\end{equation}

V prípade, že v čase $\tau = 0$ sú ióny v~pokoji (majú nulové
rýchlosti), je distribučná funkcia $\varphi(u, 0)$ delta funkciou.
Integráciou druhého člena a~prechodom k~limite $\lim_{\tau \to \infty}$
dostaneme vzťah

\begin{equation}
	1 = u_d(\infty)  \Int_0^\infty  e^{-\frac{1}{2}u^2} du +
	\lim_{\tau \to \infty} e^{-\frac{1}{2}\tau^2},
	\label{yyy}
\end{equation}

na základe ktorého pre ustálenú hodnotu driftovej rýchlosti vychádza
rovnica

\begin{equation}
	u_d(\infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}.
	\label{udrift-intfy}
\end{equation}

Spätným dosadením do vzťahu \rov{distrib-2} možno dostať rovnovážnu
distribučnú funkciu

\begin{equation}
	\varphi(u, \infty) =  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \Theta(u) e^{-\frac{1}{2}u^2}.
	\label{rovnovazna-distrib}
\end{equation}

% */

\subsubsection{Relaxácia monoenergetického zväzku}
% /*

Vzťah \rov{distrib-2} umožňuje taktiež určiť časový priebeh driftovej
rýchlosti v~prípade, že sa všetky ióny hýbu v~smere elekrického poľa
spoločnou rýchlosťou $u_0$ a~v~čase $\tau = 0$ je elektrické pole
zapnuté. V~tomto prípade je potom počiatočná distribučná funkcia daná
vzťahom

\begin{equation}
	\varphi(u, 0) = \delta(u - u_0),
\end{equation}

teda rovnicu \rov{distrib-2} možno pre $u \ge 0, \tau \ge 0$ zapísať ako

\begin{equation}
	\varphi(u, \tau) = [1 - \Heaviside(u - \tau)] u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} +
			\delta(u - \tau - u_0) e^{\frac{1}{2}u_0^2}
				e^{-\frac{1}{2}(u_0 + \tau)^2}.
	\label{distrib-start-speed}
\end{equation}

Na základe vzťahu \rov{driftova-rychlost} dostaneme pre časový priebeh
driftovej rýchlosti vzťah

\begin{equation}
	u_d(\tau) = \Int_0^\tau u u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} du
			+ (\tau + u_0) e^{\frac{1}{2}u_0^2}
				e^{-\frac{1}{2}(u_0 + \tau)^2}.
	\label{driftova-rychlost-start-speed}
\end{equation}



% */

\subsubsection{Výpočet času medzi dvomi zrážkami}
% /*

V aproximácii studeného plynu sa molekuly neutrálneho plynu nepohybujú.
Ak na ión silovo pôsobí iba urýchľujúce homogénne pole, ión sa pohybuje
rovnomerne zrýchlene s~nulovou počiatočnou rýchlosťou (uvažujeme
rezonančnú výmenu náboja a~tak v dôsledku rovnakej hmotnosti iónu a
molekuly neutrálneho plynu dôjde k výmene rýchlostí medzi iónom
a~neutrálnou molekulou).  Potom možno dobu medzi dvomi zrážkami rátať
priamo podľa vzťahu

\begin{equation}
	t = \sqrt{\frac{2\lambda}{a}}
	\label{coldGas-time}
\end{equation}

kde $a$ je zrýchlenie pôsobiace na nabitú časticu a~$\lambda$ je voľná
dráha. %Vzťah \rov{coldGas-time} netreba chápať ako vzorec na výpočet
%presnej číselnej hodnoty času medzi dvomi zrážkami, ale treba ho chápať
%štatisticky. Dráha, ktorú preletí ión bez toho, aby sa zrazil totiž nie
%je presne definovaná hodnota, ale je to náhodná premenná s~daným
%rozdelením.

% */

%% aproximacia studeneho plynu */


\subsection{Rezonančná výmena náboja s~uvážením tepelného pohybu molekúl
neutrálneho plynu}
\label{hotGas}
%% uvazenie tepelneho pohybu molekul /*

Štúdium tohto javu vychádza z predošlých úvah a platia predpoklady
uvedené v~kapitole \refchapter{coldGas}. Tentoraz sa však
nepredpokladá, že molekuly neutrálneho plynu sú v pokoji (nepohybujú
sa), ale že sa pohybujú tepelnými rýchlosťami. Preto po zrážke iónu s
molekulou neutrálneho plynu ión získa tepelnú rýchlosť danej molekuly.
Pre plyn s teplotou $T_g$ je rýchlostné rozdelenie molekúl neutrálneho
plynu dané Maxwellovým rozdelením (jednorozmerný prípad)

\begin{equation}
	f(v_x) dv_x = \frac{1}{\sqrt{\pi}v_T} \exp\left(
	-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x,
	\label{fvTg}
\end{equation}

kde $v_T = \sqrt{\frac{2kT_g}{m_g}}$ je najpravdepodobnejšia tepelná
rýchlosť molekuly neutrálneho plynu, $k$~Boltzmannova konštanta, $T_g$
teplota neutrálneho plynu a~$m_g$ hmotnosť molekuly neutrálneho plynu.

Pri uvážení tepelného pohybu musíme čas medzi dvomi zrážkami $t$ rátať
z~kvadratickej rovnice pre rovnomerne zrýchlený pohyb. Fyzikálna
predstava je nasledovná: predpokladáme, že na ión pôsobí konštantné
zrýchlenie $a$. Ión štartuje s počiatočnou náhodnou tepelnou rýchlosťou
$v_0$ (generovanou z rozdelenia podľa vzťahu \rov{fvTg}). Voľnú
dráhu $\lambda$ prejde ión rovnomerne zrýchlene (spomalene) za čas $t$.
Poloha, v ktorej sa ión bude nachádzať v čase $t$, je daná vzťahom

\begin{equation}
	x = \polovica a t^2 + v_0 t.
	\label{draha-ionu}
\end{equation}
\inputImage[tb]{drahy}{\textwidth}{images/drahy}
{Rýchlosť iónu v závislosti od jeho polohy pre rôzne hodnoty počiatočnej
rýchlosti a~zrýchlenia}%

Tento vzťah je nutné analyzovať podrobnejšie. Ako si možno všimnúť na
obrázku \refimage{drahy}, pri vhodne \uv{zvolených}\footnote{pri
numerických výpočtoch sa voľná dráha $\lambda$ a~počiatočná rýchlosť
iónu $v_0$ generujú náhodne podľa príslušných distribučných funkcií}
parametroch $\lambda$, $a$ a~$v_0$ môže nastať prípad, že ión zmení smer
letu skôr, ako urazí dráhu $\lambda$ -- voľnú dráhu. V~literatúre sa
tento prípad nerieši a~autori sa snažia vzniknutú situáciu obísť. Keďže
našou snahou je navrhnúť program, ktorý bude datailne simulovať
jednotlivé častice, musíme tento problém vyriešiť. Ako riešenie sa
ponúka interpretovať voľnú dráhu $\lambda$ ako absolútnu hodnotu dráhy,
ktorú musí ión prejsť, aby došlo k~zrážke. Detailné riešenie problému je
zhrnuté v~nasledujúcich bodoch:

\begin{description}
	\item[$\mathbf{a = 0 \AND v_0 = 0}$] \quad -- na ióny nepôsobí
		urýchľujúce pole a~počiatočná rýchlosť iónu je nulová. Čas medzi
		dvomi zrážkami je $t = \infty$, teda ión nebude driftovať.

	\item[$\mathbf{(sgn\;a = sgn\;v_0) \AND ( a \neq 0 \OR v_0 \neq 0)}$]
		\quad -- rýchlosť a zrýchlenie iónu majú súhlasné znamienka a
		aspoň jeden z parametrov je nenulový.  V~tomto prípade možno čas
		medzi dvomi zrážkami vyrátať ako

		\begin{equation}
			t = \frac{2\lambda}{|v_0| + \sqrt{v_0^2 + 2|a|\lambda}}.
			\label{cas-medzi-zrazkami-1}
		\end{equation}

	\item[$\mathbf{sgn\;a \neq sgn\;v_0 }$] \quad -- znamienka rýchlosti
		a~zrýchlenia sú opačné.  Ak $v_0 \leq \sqrt{2\lambda|a|}$, na
		vzdialenosti menšej ako $\lambda$ nadobudne ión nulovú rýchlosť
		a~vplyvom zrýchlenia sa začne pohybovať opačne.  Ión nadobudne
		nulovú rýchlosť za čas $t_1 = \frac{|v_0|}{|a|}$ a~za tento
		časový úsek preletí dráhu $\lambda_1 = \frac{v_0^2}{2|a|}$. Aby
		nastala ďalšia zrážka, musí ión preletieť ešte dráhu $\lambda_2
		= \lambda - \lambda_1 = \lambda - \frac{v_0^2}{2|a|}$. Tento
		úsek preletí ión za čas $$t_2 = \frac{\sqrt{2\lambda|a| -
		v_0^2}}{|a|}.$$ Celkový čas, ktorý potreboval ión na ubehnutie
		voľnej dráhy teda je

		\begin{equation}
			t = t_1 + t_2 = \frac{|v_0| + \sqrt{2|a|\lambda - v_0^2}}{|a|}.
			\label{cas-medzi-zrazkami-2}
		\end{equation}

		Naopak, ak platí $|v_0| \geq \sqrt{2\lambda|a|}$, smer pohybu iónu
		sa na vzdialenosti menšej ako $\lambda$ nezmení a pre čas medzi
		dvomi zrážkami platí

		\begin{equation}
			t = \frac{2\lambda}{|v_0| + \sqrt{v_0^2 - 2|a|\lambda}}.
			\label{cas-medzi-zrazkami-3}
		\end{equation}
\end{description}

Vzťahy \rov{cas-medzi-zrazkami-1} a \rov{cas-medzi-zrazkami-3} možno
nahradiť spoločným vyjadrením, ktoré bude platiť v obidvoch prípadoch.
Pre tieto účely definujme\footnote{korektná matematická definícia je
$\sgn\;0 \equiv 0$} $\sgn\;0 \equiv 1$, čím sa zahrnú aj prípady \\
$a = 0 \OR v_0 = 0$:
\begin{equation}
	t = \frac{2\lambda}{|v_0| + \sqrt{v_0^2 + 2a\lambda\,\sgn\;v_0}}.
	\label{cas-medzi-zrazkami}
\end{equation}


\subsubsection{Zavedenie bezrozmerných premenných}

Ak uvážime tepelný pohyb molekúl neutrálneho plynu, ión po zrážke už
nebude štartovať s~nulovou počiatočnou rýchlosťou, ale s~rýchlosťou
$v_0$, ktorú mala neutrálna molekula tesne pred zrážkou (ión a neutrálna
molekula si vzhľadom na rovnaké hmotnosti vymenia rýchlosti). Táto
počiatočná rýchlosť je daná Maxwellovským rozdelením. V~homogénnom
elektrickom poli bude poloha a~rýchlosť iónu daná rovnicami

\begin{eqnarray}
	x & = & \frac{1}{2}at^2 + v_0t \\
	v & = & at + v_0
	\label{zakladne-rovnice}
\end{eqnarray}

Na základe týchto rovníc možno zaviesť bezrozmerné parametre. Nech

\begin{eqnarray}
	x & = & K_x \xi		\\
	v & = & K_v u		\\
	t & = & K_t \tau
	\label{normalizacia-T-nenulove}
\end{eqnarray}

kde $K_x, K_v, K_t$ sú normalizačné konštanty pre polohu, rýchlosť a~čas
a~$\xi, u, \tau$ sú príslušné bezrozmerné premenné. Potom rovnicu
\rov{zakladne-rovnice} možno zapísať ako

\begin{eqnarray}
	\xi & = & \frac{1}{2}\frac{aK_t^2}{K_x}\tau^2 + \frac{K_vK_t}{K_x}u_0\tau
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x} \\
	u   & = & \frac{aK_t}{K_v}\tau + u_0
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v}
\end{eqnarray}

Nech normalizačné koeficienty rýchlosti a~polohy sú

\begin{equation}
	K_v = v_T = \sqrt{\frac{2 k T_g}{m_g}}	\qquad K_x = \<\lambda>,
	\label{norm-koef-K_v}
\end{equation}

kde $k$ je Boltzmannova konštanta, $T_g$ teplota neutrálneho plynu,
$m_g$ hmotnosť neutrálnej molekuly a~$\<\lambda>$ stredná voľná dráha.
Položme

\begin{equation}
	\frac{K_vK_t}{K_x} = 1
\end{equation}

a~označme ako parameter $\alpha$ súbor konštánt

\begin{equation}
	\alpha	= \frac{aK_t^2}{K_x}
			= \frac{a \<\lambda>}{v_T^2}.
	\label{alpha}
\end{equation}

Ľahko možno nahliadnuť, že parameter $\alpha$ udáva pomer medzi energiou
iónu dodanou elektrickým poľom na strednej voľnej dráhe a~tepelnou
energiou iónu. Koeficient $\alpha$ teda určuje, či sa jedná o slabé
($\alpha < 1$) alebo o silné ($\alpha > 1$) pole.

Rovnice \rov{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x}
a~\rov{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v} po úprave vyzerajú
nasledovne:

\begin{eqnarray}
	\xi & = & \frac{1}{2}\alpha\tau^2 + u_0\tau
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x-alpha} \\
	u   & = & \alpha\tau + u_0
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v-alpha}
\end{eqnarray}



%% Označme
%% 
%% \begin{eqnarray}
%% 	A = & \displaystyle \frac{aK_t^2}{K_x}	\qquad & B = \frac{K_vK_t}{K_x} \nonumber \\
%% 	C = & \displaystyle \frac{aK_t}{K_v}	\qquad & D = 1 \nonumber
%% \end{eqnarray}
%% 
%% teda rovnice \rov{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x}
%% a~\rov{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v} prepíšeme ako 
%% 
%% \begin{eqnarray}
%% 	\xi & = & \frac{1}{2}A\tau^2 + B\tau
%% 	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x-ABCD} \\
%% 	u   & = & C\tau + u_0
%% 	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v-ABCD}
%% \end{eqnarray}
 
%% */ uvazenie tepelneho pohybu molekul


% vim: ts=4 isk+=-
% vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=3 fmr=/*,*/