% % 'slide.tex' created: Fri Mar 28 16:37:10 CET 2003 % % Developed by Lubomir Host 'rajo' % Copyright (c) 2003 Platon SDG % Licensed under terms of GNU General Public License. % All rights reserved. % % $Platon$ %\documentclass[a4paper,12pt]{article} \documentclass[a4paper,oneside]{article} \usepackage [slovak]{babel} \usepackage [latin2]{inputenc} \usepackage {fontenc} \usepackage {t1enc} \usepackage {floatflt} \usepackage {fancyhdr} \usepackage {amsfonts} % Definicia makier je v zvlastnom subore \usepackage {diplomovka} \usepackage {slide} % Delenie casto pouzivanych slov \input hyphenation.tex \title{\Huge \textbf{Metóda Monte Carlo vo fyzike \\ nízkoteplotnej plazmy}} \author{\huge Ľubomír Host \\ \huge Prof.~RNDr.~Viktor~Martišovitš,~DrSc.} \begin{document} \huge \maketitle \begin{itemize} \item Úvod \item Cieľ práce \item Rezonančná výmena náboja \item Metóda Monte Carlo \item Výsledky \item Záver \item Literatúra \end{itemize} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{\Huge Rezonančná výmena náboja} \addcontentsline{toc}{chapter}{Rezonančná výmena náboja} Reakcia: \begin{eqnarray} A^\pm + A(nl) & \longrightarrow & A(n'l') + A^\pm %\\ % A^\pm_2 + A_2(\Lambda) & \longrightarrow & A(\Lambda') + A^\pm_2 \label{reakcia} \end{eqnarray} Reakcia je spojená s procesom prechodu valenčného elektrónu cez potenciálovú bariéru v~príťažlivom poli susedných častíc. -- vzácne plyny: $\mathrm{He-He^+,\;Ne-Ne^+,\;Ar-Ar^+}$ \cite{McDaniel} \bigskip \section*{\Huge Metóda Monte Carlo} \addcontentsline{toc}{chapter}{Metóda Monte Carlo} -- numerická metóda riešenia matematických úloh pomocou modelovania náhodných veličín a štatistického odhadu ich charakteristík \subsection*{\huge Implementácia} Súčasné simulovanie dostatočne veľkej skupiny iónov -- vysoké nároky na operačnú pamäť, pretože treba uchovávať informáciu o~polohe a~rýchlosti každého iónu z~predchádzajúceho kroku -- na základe predpokladov však možno simulovať postupne: jeden ión za druhým \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{\Huge Aproximácia studeného plynu} \addcontentsline{toc}{chapter}{Aproximácia studeného plynu} Teoretický model rezonančnej výmeny náboja v~aproximácii studeného plynu je založený na nasledujúcich predpokladoch: \begin{itemize} \item atómy (molekuly) neutrálneho plynu sa nepohybujú \item koncentrácia iónov v~neutrálnom plyne je malá \item po zrážke iónu s neutrálnou molekulou má ión nulovú rýchlosť (symetrická nábojová výmena) \item nábojová výmena nastáva okamžite \item elektrické pole, koncentrácia molekúl neutrálneho plynu a iónov je nezávislá od polohy \end{itemize} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\section*{\Huge Analytické riešenie} Boltzmannova kinetická rovnica v~aproximácii studeného plynu vyzerá \begin{eqnarray}% /* \Partial{f(v,t)}{t} + a(t) \Partial{f(v,t)}{v} & = & - n |v| \sigma f(v,t) + \\ & + & \frac{n}{V} \delta\left( \frac{v}{V} \right) \Int_{-\infty}^{+\infty} |v'| \sigma f(v',t) dv' \nonumber \label{boltzmann} \end{eqnarray} % */ Normalizácia: \begin{equation}% /* \tau = t\sqrt{n\sigma a}, \qquad u = v / V, \qquad V = \sqrt{a / n\sigma} \label{normalizacia} \end{equation} \begin{eqnarray} \Partial{\varphi(u,\tau)}{\tau} + \Partial{\varphi(u,\tau)}{u} & = & - |u| \varphi(u,\tau) + \\ & + & \delta(u) \Int_{-\infty}^{+\infty} |u'| \varphi(u',\tau) du' \nonumber \\ \varphi(u, \tau) = \frac{f(v,t)}{n_+}\frac{dv}{du} \label{norm-boltzmann} \end{eqnarray}% */ Časová závislosť driftovej rýchlosti iónov je daná vzťahom % /* \begin{equation} u_d(\tau) = \Int_{-\infty}^{+\infty} u \varphi(u,\tau) du \label{u-drift} \end{equation} \begin{equation} u_d(\tau) = \Int_0^\tau u u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} du + \Int_0^\infty u \varphi(u - \tau, 0) e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)} du \label{driftova-rychlost} \end{equation} % */ \inputImage[b!]{analytic}{\textwidth}{images/slide-analytic}% /* {\LARGE a,b,c) Časový priebeh driftovej rýchlosti. %Krivka označená $\<\zeta> / %\tau$ je driftová rýchlosť určovaná z~prebehnutej dráhy, krivka %MC je driftová rýchlosť určovaná priamo z~rýchlosti iónov. d) Časový priebeh entropie iónového zväzku. Počet simulovaných iónov $N = \cisloexp 1.0^6$.} % */ V prípade, že v čase $\tau = 0$ sú ióny v~pokoji (majú nulové rýchlosti), je distribučná funkcia $\varphi(u, 0) = \delta(u)$. Ustálená hodnota driftovej rýchlosti a~rovnovážna distribučná funkcia potom sú \begin{equation} % /* u_d(\infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \qquad v_d(\infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{eE\<\lambda>}{m}} \label{silne-pole} \end{equation} \begin{equation} \varphi(u, \infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \Theta(u) e^{-\frac{1}{2}u^2} \label{rovnovazna-distrib} \end{equation} % */ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Rovnovážna hodnota entropie \begin{eqnarray} % /* S(\infty) & = & \lim_{\tau \to \infty} S(\tau) = - \Int_{-\infty}^{\infty} \varphi(u, \infty) \ln\varphi(u, \infty) \d u = \nonumber \\ & = & \ln\sqrt{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2} \label{rovnovazna-entopia} \end{eqnarray} % */ \inputImage[b!]{distrib_T=0K}{\textwidth}{images/slide-distrib_T-0} {\LARGE Distribučná funkcia rýchlosti iónov pri teplote $T = 0\Kelvin$ v~niekoľkých časových okamihoch. Počet simulovaných iónov $N = \cisloexp 1.0^6$} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \inputImage[t!]{presnost-MC}{\textwidth}{images/slide-presnost-MC} {\LARGE Závislosť relatívnej chyby $\varepsilon$ metódy Monte Carlo od počtu simulovaných iónov.} % */ \begin{eqnarray} \varepsilon & = & \lim_{\tau \to \infty} \frac{\Int_\tau^{\tau + \Delta \tau} |u_d(t) - u_d(\infty)| dt} {\Delta \tau \; u_d(\infty)} \\ \nonumber \\ \varepsilon & \sim & N^{-\frac{1}{2}} \sim t^{-\frac{1}{2}} \label{relat-chyba} \end{eqnarray} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \inputImage{vdrift-E:T-0K}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E_T-0}% /* {Závislosť driftovej rýchlosti iónov hélia od intenzity elektrického poľa pri teplote $T = 0\Kelvin$. $\lambda = \cisloexp 3.0^{-7} \m$} % */ \begin{equation} v_d = \sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{eE\<\lambda>}{m}} \end{equation} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{\Huge Uváženie tepelného pohybu molekúl} \addcontentsline{toc}{chapter}{Uváženie tepelného pohybu molekúl} % rovnice /* \begin{equation} f(v_x) dv_x = \frac{1}{\sqrt{\pi}v_T} \exp\left( -\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x \label{fvTg} \end{equation} Zavedenie bezrozmerných parametrov vychádza z pohybových rovníc: \begin{eqnarray} x & = & \frac{1}{2}at^2 + v_0t \\ v & = & at + v_0 \label{zakladne-rovnice} \end{eqnarray} \begin{equation} x = K_x \xi, \qquad v = K_v u, \qquad t = K_t \tau \label{normalizacia-T-nenulove} \end{equation} \begin{eqnarray} K_x & = & \<\lambda> \\ K_v & = & v_T = \sqrt{\frac{2 k T_g}{m_g}} \\ K_t & = & \frac{K_x}{K_v} \end{eqnarray} \begin{equation} \alpha = \frac{aK_t^2}{K_x} = \frac{a \<\lambda>}{v_T^2} \label{alpha} \end{equation} \begin{eqnarray} \xi & = & \frac{1}{2}\alpha\tau^2 + u_0\tau \label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x-alpha} \\ u & = & \alpha\tau + u_0 \label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v-alpha} \end{eqnarray} % */ \inputImage[h]{slide-vdrift_T-300K-normal-model}{\textwidth}{images/slide-vdrift_T-300K-normal-model}% /* {Časový priebeh driftovej rýchlosti pre rôzne intenzity elektrického poľa pri teplote $T = 300\Kelvin$. Počet simulovaných iónov hélia $N = \cisloexp 5.0^5$.} % */ \clearpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \inputImage[h]{slide-zavislost-vdrift-E-normal-model}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E-normal-model}% /* {Závislosť driftovej rýchlosti od intenzity elektrického poľa. Naznačená smernica $v_{drift} = \cislo 891.05 \; \alpha^{1/2} \m.\s^{-1}$ a~fitovaná smernica $v_{drift} = \cislo 891.05 \; \alpha^{\cislo 0.668} \m.\s^{-1}$. Počet simulovaných iónov hélia $N = \cisloexp 5.0^5$.} % */ V prípade slabého poľa driftová rýchlosť iónov závisí ako \begin{equation} v_d(0) = \frac{A}{\sqrt{mkT}}eE\<\lambda>, \label{slabe-pole} \end{equation} kde konštanta $A = \cislo 0.330 \div \cislo 0.341$ \cite{McDaniel}. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % distribucne funkcie /* \begin{eqnarray} f(v_x) dv_x & = & \frac{1}{\sqrt{\pi}v_T} \exp\left(-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x \\ \nonumber \\ % f_\beta(v_x) dv_x & = & \left\{ \begin{array}{lll} 0, & & |v_x| < \beta v_T \\ \\ \displaystyle\frac{1}{\erfc(\beta)} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}v_T} & \\ & \displaystyle\exp\left(-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x, & |v_x| > \beta v_T \\ \end{array} \right. \label{fvBeta} \nonumber \\ \\ % f_{3D}(v) dv & = & \frac{4 \pi}{(\sqrt{\pi} v_T)^3} \exp\left(-\frac{v^2}{v_T^2}\right) v^2 dv \label{fv3D} % \end{eqnarray} % */ \inputImage[hb!]{distribucne-funkcie}{0.7\textwidth}{images/slide-distribucne-funkcie}% /* {Porovnanie distribučných funkcií. Zobrazené distribučné funkcie sú normalizované, $u = v/v_T$. $f_\beta(u)$ vykreslené pre $\beta = \cislo 0.5$.} % */ \inputImage{zavislost-vdrift-E-beta-model}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E-beta-model}% /* {Závislosť driftovej rýchlosti iónov hélia od intenzity elektrického poľa pri teplote $T = 300\Kelvin$ pri rôznych hodnotách koeficientu~$\beta$.} % */ \inputImage{slide-vdrift_T-300K-x2-model}{\textwidth}{images/slide-vdrift_T-300K-x2-model}% /* {Časový priebeh driftovej rýchlosti iónov hélia pre rôzne intenzity elektrického poľa pri teplote $T = 300\Kelvin$ ak sa použije rozdeľovacia funkcia \rov{fv3D} -- $f_{3D}(v)$. Počet simulovaných iónov $N = \cisloexp 5.0^5$.} % */ \inputImage{slide-zavislost-vdrift-E-x2-model}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E-x2-model}% /* {Závislosť driftovej rýchlosti iónov hélia od intenzity elektrického poľa. $T = 300\Kelvin$, $\lambda = \cisloexp 3.0^{-7} \m$.} % */ \inputImage{slide-entropy-x2-model}{\textwidth}{images/slide-entropy-x2-model}% /* {Časový vývoj entropie pre $\alpha = \cislo 1.0$. $T = 300\Kelvin$, $\lambda = \cisloexp 3.0^{-7} \m$. } % */ \inputImage{distrib-x2-model-3D}{\textwidth}{images/x2-model-distrib-3D_projection}% /* {Distribučná funkcia iónov hélia ($\mathrm{He}-\mathrm{He}^+$) pri teplote $T = 300\Kelvin$. $\alpha = \cislo 1.0$, počet simulovaných iónov $N = \cisloexp 5.0^5$. Bezrozmerná škála.} % */ \clearpage \newpage \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{\Huge Generovanie náhodných čísel metódou inverznej funkcie} \addcontentsline{toc}{chapter}{Generovanie náhodných čísel metódou inverznej funkcie} Náhodná voľná dráha sa generuje metódou inverznej funkcie \begin{eqnarray} f(x) & = & \frac{1}{\lambda} \exp(- x / \lambda) \label{distrib-lambda} \\ F(x) & = & \Int_0^x \frac{1}{\lambda} \exp(- \xi / \lambda) d\xi = \nonumber \\ & = & 1 - \exp(- x / \lambda) \label{rozdel-lambda} \\ x_i & = & - \lambda \log(1 - R_i), \qquad R_i \in \oper{R}(0,1) \label{xi} \end{eqnarray} \newpage \section*{\Huge Generovanie náhodných čísel von Neumannovou metódou výberu} \addcontentsline{toc}{chapter}{Generovanie náhodných čísel von Neumannovou metódou výberu} \begin{figure}[hbt!]% \includegraphics[width=\textwidth, height=11.5cm]{images/neumann}% \caption{Generovanie náhodných čísel von Neumannovou metódou výberu.} \label{neumann} \end{figure} \clearpage \inputImage{slide-casy-zrazok}{\textwidth}{images/slide-casy-zrazok}% /* {Závislosť zrážkovej frekvencie $\nu$ od intenzity elektrického poľa (koeficient $\alpha$). Porovnanie vplyvu distribučnej funkcie na závislosť $\nu$ od $\alpha$.} % */ $\mathbf{sgn\;a \neq sgn\;v_0 \AND v_0 \leq \sqrt{2\lambda|a|}}$\textbf{:} \begin{equation} t = \frac{|v_0| + \sqrt{2|a|\lambda - v_0^2}}{|a|} \label{cas-medzi-zrazkami-2} \end{equation} \textbf{ostatné prípady:} \begin{equation} t = \frac{2\lambda}{|v_0| + \sqrt{v_0^2 + 2a\lambda\,\sgn\;v_0}} \label{cas-medzi-zrazkami} \end{equation} \clearpage \section*{\Huge Záver} \addcontentsline{toc}{chapter}{Záver} Dosiahnuté výsledky: \begin{itemize} \item odladenie algoritmu a~porovnanie numerických výsledkov s~analytickým riešením \item nezávisle potvrdenie už dosiahnutých výsledkov v~aproximácii studeného plynu \cite{Martis} \item nájdenie zákonov podobnosti pre rezonančnú výmenu náboja pri započítaní tepelného pohybu molekúl \item objav anomálneho správania sa driftovej rýchlosti iónov v~slabých poliach a~analýza možných príčin \item časový vývoj driftovej rýchlosti, entropie a~distribučnej funkcie v~silných a~slabých poliach \end{itemize} \clearpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % $$ % \left(\frac{M}{m} + \frac{m}{M}\right) eE\lambda << kT % $$ % % $$ % \cisloexp 3.98^{-22} \J \leftrightarrow \cisloexp 1.38^{-22} \J % $$ % % \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pri teplote $T = 0 \Kelvin$ -- silné pole \\ % Pri teplote $T > 0 \Kelvin$ -- slabé aj silné pole % % Kritériom, kedy sa jedná o silné pole je podmienka % \begin{equation} % \left(\frac{M}{m} + \frac{m}{M}\right) eE\lambda >> kT % \label{podmienka} % \end{equation} % tzn. energia dodaná iónu elektrickým poľom na strednej voľnej dráhe musí % byť väčšia ako energia tepelného pohybu. %\section*{\Huge Záver} \input {06-literatura} %\listoffigures \end{document} % vim: ts=4 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=3 fmr=/*,*/