%
% 'slide.tex' created: Fri Mar 28 16:37:10 CET 2003
%
% Developed by Lubomir Host 'rajo' <rajo AT platon.sk>
% Copyright (c) 2003 Platon SDG
% Licensed under terms of GNU General Public License.
% All rights reserved.
%

% $Platon$

%\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage [slovak]{babel}
\usepackage [latin2]{inputenc}
\usepackage {fontenc}
\usepackage {t1enc}
\usepackage {floatflt}
\usepackage {fancyhdr}
\usepackage {amsfonts}

% Definicia makier je v zvlastnom subore
\usepackage {diplomovka}
\usepackage {slide}

% Delenie casto pouzivanych slov
\input hyphenation.tex

\title{\Huge \textbf{Metóda Monte Carlo vo fyzike \\ nízkoteplotnej
plazmy}}
\author{\huge Ľubomír Host \\ \huge Prof.~RNDr.~Viktor~Martišovitš,~DrSc.}

\begin{document}
\huge

\maketitle

\begin{itemize}
	\item Úvod
	\item Cieľ práce
	\item Rezonančná výmena náboja
	\item Metóda Monte Carlo
	\item Výsledky
	\item Záver
	\item Literatúra
\end{itemize}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{\Huge Rezonančná výmena náboja}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Rezonančná výmena náboja}

Reakcia:
\begin{eqnarray}
	A^\pm + A(nl) & \longrightarrow & A(n'l') + A^\pm %\\
%	A^\pm_2 + A_2(\Lambda) & \longrightarrow & A(\Lambda') + A^\pm_2
	\label{reakcia}
\end{eqnarray}
Reakcia je spojená s procesom prechodu valenčného elektrónu cez
potenciálovú bariéru v~príťažlivom poli susedných častíc.

-- vzácne plyny: $\mathrm{He-He^+,\;Ne-Ne^+,\;Ar-Ar^+}$ \cite{McDaniel}
\bigskip

\section*{\Huge Metóda Monte Carlo}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Metóda Monte Carlo}

-- numerická metóda riešenia matematických úloh pomocou modelovania
náhodných veličín a štatistického odhadu ich charakteristík

\subsection*{\huge Implementácia}

Súčasné simulovanie dostatočne veľkej skupiny iónov  -- vysoké nároky na
operačnú pamäť, pretože treba uchovávať informáciu o~polohe a~rýchlosti
každého iónu z~predchádzajúceho kroku

-- na základe predpokladov však možno simulovať postupne: jeden ión za
druhým

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{\Huge Aproximácia studeného plynu}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Aproximácia studeného plynu}

Teoretický model rezonančnej výmeny náboja v~aproximácii studeného plynu
je založený na nasledujúcich predpokladoch:
\begin{itemize}
	\item atómy (molekuly) neutrálneho plynu sa nepohybujú
	\item koncentrácia iónov v~neutrálnom plyne je malá
	\item po zrážke iónu s neutrálnou molekulou má ión nulovú rýchlosť
		(symetrická nábojová výmena)
	\item nábojová výmena nastáva okamžite
	\item elektrické pole, koncentrácia molekúl neutrálneho plynu a
		iónov je nezávislá od polohy
\end{itemize}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section*{\Huge Analytické riešenie}

Boltzmannova kinetická rovnica v~aproximácii studeného plynu vyzerá

\begin{eqnarray}% /*
	\Partial{f(v,t)}{t} +
		a(t) \Partial{f(v,t)}{v}
	& = & - n |v| \sigma f(v,t) + \\
	& + & \frac{n}{V} \delta\left( \frac{v}{V} \right)
		\Int_{-\infty}^{+\infty} |v'| \sigma f(v',t) dv' \nonumber
	\label{boltzmann}
\end{eqnarray} % */
Normalizácia:
\begin{equation}% /*
	\tau	= t\sqrt{n\sigma a}, \qquad
	u		= v / V, \qquad
	V		= \sqrt{a / n\sigma}
	\label{normalizacia}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
	\Partial{\varphi(u,\tau)}{\tau} + \Partial{\varphi(u,\tau)}{u}
	& = & - |u| \varphi(u,\tau) + \\
	& + & \delta(u)
		\Int_{-\infty}^{+\infty} |u'| \varphi(u',\tau) du' \nonumber \\
	\varphi(u, \tau) = \frac{f(v,t)}{n_+}\frac{dv}{du}
	\label{norm-boltzmann}
\end{eqnarray}% */

Časová závislosť driftovej rýchlosti iónov je daná vzťahom
 % /*
\begin{equation}
	u_d(\tau) = \Int_{-\infty}^{+\infty} u \varphi(u,\tau) du
	\label{u-drift}
\end{equation}

\begin{equation}
	u_d(\tau) = \Int_0^\tau u u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} du
		+ \Int_0^\infty u \varphi(u - \tau, 0)
				e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)} du
	\label{driftova-rychlost}
\end{equation}
% */

\inputImage[b!]{analytic}{\textwidth}{images/slide-analytic}% /*

{\LARGE a,b,c) Časový priebeh driftovej rýchlosti. %Krivka označená $\<\zeta> /
%\tau$ je driftová rýchlosť určovaná z~prebehnutej dráhy, krivka
%MC je driftová rýchlosť určovaná priamo z~rýchlosti iónov.
d) Časový
priebeh entropie iónového zväzku. Počet simulovaných iónov $N =
\cisloexp 1.0^6$.} % */

V prípade, že v čase $\tau = 0$ sú ióny v~pokoji (majú nulové
rýchlosti), je distribučná funkcia $\varphi(u, 0) = \delta(u)$. Ustálená
hodnota driftovej rýchlosti a~rovnovážna distribučná funkcia potom sú

\begin{equation} % /*
	u_d(\infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \qquad
	v_d(\infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{eE\<\lambda>}{m}}
	\label{silne-pole}
\end{equation}

\begin{equation}
	\varphi(u, \infty) =  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \Theta(u) e^{-\frac{1}{2}u^2}
	\label{rovnovazna-distrib}
\end{equation} % */

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Rovnovážna hodnota entropie

\begin{eqnarray} % /*
	S(\infty) & = & \lim_{\tau \to \infty} S(\tau) =
		- \Int_{-\infty}^{\infty}
			\varphi(u, \infty) \ln\varphi(u, \infty) \d u = \nonumber \\
		& = & \ln\sqrt{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2}
	\label{rovnovazna-entopia}
\end{eqnarray} % */

\inputImage[b!]{distrib_T=0K}{\textwidth}{images/slide-distrib_T-0}
{\LARGE Distribučná funkcia rýchlosti iónov pri teplote $T =
0\Kelvin$ v~niekoľkých časových okamihoch. Počet simulovaných iónov $N = \cisloexp 1.0^6$}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\inputImage[t!]{presnost-MC}{\textwidth}{images/slide-presnost-MC}

{\LARGE Závislosť relatívnej chyby $\varepsilon$ metódy Monte Carlo od
počtu simulovaných iónov.} % */

\begin{eqnarray}
	\varepsilon & = &
		\lim_{\tau \to \infty}
		\frac{\Int_\tau^{\tau + \Delta \tau} |u_d(t) - u_d(\infty)| dt}
		{\Delta \tau \; u_d(\infty)} \\
		\nonumber \\
	\varepsilon & \sim & N^{-\frac{1}{2}} \sim t^{-\frac{1}{2}}
	\label{relat-chyba}
\end{eqnarray}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\inputImage{vdrift-E:T-0K}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E_T-0}% /*

{Závislosť driftovej rýchlosti iónov hélia od intenzity elektrického poľa pri
teplote $T = 0\Kelvin$. $\lambda = \cisloexp 3.0^{-7} \m$}
% */

\begin{equation}
	v_d = \sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{eE\<\lambda>}{m}}
\end{equation}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{\Huge Uváženie tepelného pohybu molekúl}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Uváženie tepelného pohybu molekúl}

% rovnice /*
\begin{equation}
	f(v_x) dv_x = \frac{1}{\sqrt{\pi}v_T} \exp\left(
	-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x
	\label{fvTg}
\end{equation}

Zavedenie bezrozmerných parametrov vychádza z pohybových rovníc:
\begin{eqnarray}
	x & = & \frac{1}{2}at^2 + v_0t \\
	v & = & at + v_0
	\label{zakladne-rovnice}
\end{eqnarray}

\begin{equation}
	x = K_x \xi, \qquad v = K_v u, \qquad t = K_t \tau
	\label{normalizacia-T-nenulove}
\end{equation}

\begin{eqnarray}
	K_x & = & \<\lambda>		\\
	K_v & = & v_T = \sqrt{\frac{2 k T_g}{m_g}} \\
	K_t & = & \frac{K_x}{K_v}
\end{eqnarray}

\begin{equation}
	\alpha	= \frac{aK_t^2}{K_x}
			= \frac{a \<\lambda>}{v_T^2}
	\label{alpha}
\end{equation}


\begin{eqnarray}
	\xi & = & \frac{1}{2}\alpha\tau^2 + u_0\tau
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x-alpha} \\
	u   & = & \alpha\tau + u_0
	\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v-alpha}
\end{eqnarray}
% */

\inputImage[h]{slide-vdrift_T-300K-normal-model}{\textwidth}{images/slide-vdrift_T-300K-normal-model}% /*

{Časový priebeh driftovej rýchlosti pre rôzne intenzity elektrického
poľa pri teplote $T = 300\Kelvin$. Počet simulovaných iónov hélia $N = \cisloexp 5.0^5$.}
% */

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\inputImage[h]{slide-zavislost-vdrift-E-normal-model}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E-normal-model}% /*

{Závislosť driftovej rýchlosti od
intenzity elektrického poľa. Naznačená smernica $v_{drift} = \cislo
891.05 \; \alpha^{1/2} \m.\s^{-1}$ a~fitovaná smernica $v_{drift} = \cislo 891.05 \;
\alpha^{\cislo 0.668} \m.\s^{-1}$. Počet simulovaných iónov hélia $N = \cisloexp 5.0^5$.}

% */


V prípade slabého poľa driftová rýchlosť iónov závisí ako
\begin{equation}
	v_d(0) = \frac{A}{\sqrt{mkT}}eE\<\lambda>,
	\label{slabe-pole}
\end{equation}
kde konštanta $A = \cislo 0.330 \div \cislo 0.341$ \cite{McDaniel}.

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% distribucne funkcie /*
\begin{eqnarray}
	f(v_x) dv_x	& = & \frac{1}{\sqrt{\pi}v_T}
			\exp\left(-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x \\
	\nonumber \\
%	
	f_\beta(v_x) dv_x	& = &
		\left\{
		\begin{array}{lll}
			0, & & |v_x| < \beta v_T \\
			\\
			\displaystyle\frac{1}{\erfc(\beta)} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}v_T} & \\
					& \displaystyle\exp\left(-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x, & |v_x| > \beta v_T \\
		\end{array}
		\right.
	\label{fvBeta} \nonumber \\
	\\
%	
	f_{3D}(v) dv	& = & \frac{4 \pi}{(\sqrt{\pi} v_T)^3}
			\exp\left(-\frac{v^2}{v_T^2}\right) v^2 dv
	\label{fv3D}
%
\end{eqnarray}
% */
\inputImage[hb!]{distribucne-funkcie}{0.7\textwidth}{images/slide-distribucne-funkcie}% /*

{Porovnanie distribučných funkcií. Zobrazené distribučné funkcie sú
normalizované, $u = v/v_T$. $f_\beta(u)$ vykreslené pre $\beta = \cislo 0.5$.}
% */


\inputImage{zavislost-vdrift-E-beta-model}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E-beta-model}% /*

{Závislosť driftovej rýchlosti iónov hélia od intenzity elektrického
poľa pri teplote $T = 300\Kelvin$ pri rôznych hodnotách
koeficientu~$\beta$.}

% */


\inputImage{slide-vdrift_T-300K-x2-model}{\textwidth}{images/slide-vdrift_T-300K-x2-model}% /*

{Časový priebeh driftovej rýchlosti iónov hélia pre rôzne intenzity elektrického
poľa pri teplote $T = 300\Kelvin$ ak sa použije rozdeľovacia funkcia
\rov{fv3D} -- $f_{3D}(v)$. Počet simulovaných iónov $N = \cisloexp 5.0^5$.}

% */
\inputImage{slide-zavislost-vdrift-E-x2-model}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E-x2-model}% /*

{Závislosť driftovej rýchlosti iónov hélia od intenzity elektrického poľa. $T =
300\Kelvin$, $\lambda = \cisloexp 3.0^{-7} \m$.}

% */
\inputImage{slide-entropy-x2-model}{\textwidth}{images/slide-entropy-x2-model}% /*

{Časový vývoj entropie pre $\alpha = \cislo 1.0$. $T = 300\Kelvin$,
$\lambda = \cisloexp 3.0^{-7} \m$. }

% */


\inputImage{distrib-x2-model-3D}{\textwidth}{images/x2-model-distrib-3D_projection}% /*

{Distribučná funkcia iónov hélia ($\mathrm{He}-\mathrm{He}^+$) pri
teplote $T = 300\Kelvin$. $\alpha = \cislo 1.0$, počet simulovaných
iónov $N = \cisloexp 5.0^5$. Bezrozmerná škála.}
% */



\clearpage

\newpage



\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{\Huge Generovanie náhodných čísel metódou inverznej funkcie}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Generovanie náhodných čísel metódou
inverznej funkcie}

Náhodná voľná dráha sa generuje metódou inverznej funkcie 
\begin{eqnarray}
	f(x) & = & \frac{1}{\lambda} \exp(- x / \lambda)
	\label{distrib-lambda} \\
	F(x) & = & \Int_0^x \frac{1}{\lambda} \exp(- \xi / \lambda) d\xi = \nonumber \\
	& = & 1 - \exp(- x / \lambda)
	\label{rozdel-lambda} \\
	x_i & = & - \lambda \log(1 - R_i), \qquad R_i \in \oper{R}(0,1)
	\label{xi}
\end{eqnarray}

\newpage

\section*{\Huge Generovanie náhodných čísel von Neumannovou metódou
výberu}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Generovanie náhodných čísel von
Neumannovou metódou výberu}

\begin{figure}[hbt!]%
		\includegraphics[width=\textwidth, height=11.5cm]{images/neumann}%
		\caption{Generovanie náhodných čísel von Neumannovou metódou výberu.}
		\label{neumann}
\end{figure}


\clearpage


\inputImage{slide-casy-zrazok}{\textwidth}{images/slide-casy-zrazok}% /*

{Závislosť zrážkovej frekvencie $\nu$ od intenzity elektrického poľa
(koeficient  $\alpha$). Porovnanie vplyvu distribučnej funkcie na
závislosť $\nu$ od $\alpha$.}

% */

$\mathbf{sgn\;a \neq sgn\;v_0 \AND v_0 \leq \sqrt{2\lambda|a|}}$\textbf{:}
		\begin{equation}
			t = \frac{|v_0| + \sqrt{2|a|\lambda - v_0^2}}{|a|}
			\label{cas-medzi-zrazkami-2}
		\end{equation}
\textbf{ostatné prípady:}
\begin{equation}
	t = \frac{2\lambda}{|v_0| + \sqrt{v_0^2 + 2a\lambda\,\sgn\;v_0}}
	\label{cas-medzi-zrazkami}
\end{equation}

\clearpage


\section*{\Huge Záver}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Záver}

Dosiahnuté výsledky:
\begin{itemize}
	\item odladenie algoritmu a~porovnanie numerických výsledkov
		s~analytickým riešením
	\item nezávisle potvrdenie už dosiahnutých výsledkov v~aproximácii
		studeného plynu \cite{Martis}
	\item nájdenie zákonov podobnosti pre rezonančnú výmenu náboja pri
		započítaní tepelného pohybu molekúl
	\item objav anomálneho správania sa driftovej rýchlosti iónov
		v~slabých poliach a~analýza možných príčin
	\item časový vývoj driftovej rýchlosti, entropie a~distribučnej
		funkcie v~silných a~slabých poliach
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% $$
% 	\left(\frac{M}{m} + \frac{m}{M}\right) eE\lambda << kT
% $$
% 
% $$
% 	\cisloexp 3.98^{-22} \J \leftrightarrow \cisloexp 1.38^{-22} \J
% $$
% 
% \newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Pri teplote $T = 0 \Kelvin$ -- silné pole \\
% Pri teplote $T > 0 \Kelvin$ -- slabé aj silné pole
% 
% Kritériom, kedy sa jedná o silné pole je podmienka
% \begin{equation}
% 	\left(\frac{M}{m} + \frac{m}{M}\right) eE\lambda >> kT
% 	\label{podmienka}
% \end{equation}
% tzn. energia dodaná iónu elektrickým poľom na strednej voľnej dráhe musí
% byť väčšia ako energia tepelného pohybu.


%\section*{\Huge Záver}

\input {06-literatura}

%\listoffigures

\end{document}

% vim: ts=4
% vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=3 fmr=/*,*/


