Up to [Platon] / doc / diplomova-praca-rajo

Diploma Thesis of Lubomir Host.
Title: Metoda Monte Carlo vo fyzike nizkoteplotnej plazmy. (Slovak language)

%
% '02-uvod.tex' created: Tue Dec 10 16:17:31 2002
%
% Developed by Lubomir Host 'rajo' <rajo AT platon.sk>
% Copyright (c) 2003 Platon SDG
% Licensed under terms of GNU General Public License.
% All rights reserved.
%

% $Platon$

\pagenumbering{arabic}

%\section{Úvod}
\chapter{Úvod}

%% Necislovany uvod:
%\chapter*{Úvod}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Úvod}

Fyzikálne bádanie využíva viacero metód skúmania fyzikálnych dejov alebo procesov.
V~poslednej dobe k~teoretickým a~experimentálnym metódam pribudla ďalšia metóda --
počítačová alebo simulačná. Prudký rozvoj počítačovej techniky, ktorý zaznamenávame
v~dnešnej dobe, umožnil začať skúmať fyzikálne modely a~procesy aj touto cestou. Nie je
tomu inak ani vo fyzike plazmy.

Nie je možné povedať, ktorá z~metód je najvýhodnejšia alebo lepšia, taktiež ani to, ktorá
z~metód je častejšie používaná. Každá má svoje výhody, ale aj svoje nevýhody alebo
nedostatky. Všetky metódy však tvoria dokopy jeden ucelený systém a~navzájom sa dopĺňajú.
Bez ktorejkoľvek metódy by bola fyzika omnoho chudobnejšia a~menej kompletná. Preto všetky
prístupy k~riešeniu problémov zastávajú svoju neoceniteľnú rolu.

Bola vypracovaná široká paleta simulačných metód. Jednotlivé metódy možno rozdeliť do
viacerých skupín. Ako hlavné možno spomenúť fluidné metódy riešenia a~metódy PIC (Particles
In Cells).

Fluidné metódy riešenia sú založené na numerickom riešení makroskopických rovníc.
Tieto rovnice popisujú plazmu ako kontinuum podliehajúce pôsobeniu vonkajších a~vnútorných
síl. Z~toho vyplýva makroskopický charakter popisu plazmy.

Programy, ktoré simulujú plazmu na základe Vlasovovej rovnice, sa nazývajú Vlasovove kódy.
Táto rovnica je použiteľná v~bezzrážkovej plazme. Vlasovova rovnica spolu s~Maxwellovými
rovnicami úplne popisuje chovanie bezzrážkovej plazmy. V~praxi však potrebujeme
jednoduchší -- pružnejší popis. To možno dosiahnuť použitím rôznych rýchlostných momentov
Vlasovovej rovnice. Dostaneme rovnice pre vývoj v~priestore a~čase pre koncentráciu,
strednú rýchlosť a~tlak pre každý typ častíc.

Detailnejší popis plazmy možno dosiahnuť počítačovými simuláciami založenými na
časticových kódoch (Particle Codes). Tieto metódy nechápu plazmu ako kontinuum, ale ako
súbor veľkého počtu nabitých a~neutrálnych častíc. Každá z~častíc môže mať vlastnú
štruktúru a~jej parametre sú ovplyvnené interakciou s~ostatnými časticami. Tým vzniká isté
rozdelenie rýchlostí častíc a~taktiež ostatných parametrov.

Takáto detailná simulácia však môže naraziť na niekoľko technických problémov. Vysoký
počet častíc a~komplexnosť ich vzájomných vzťahov (každá častica interaguje s~ostatnými
časticami) vyžaduje použitie vysokovýkonných superpočítačov. Napriek tomu, že výkon bežne
dostupných počítačov každým rokom rýchlo rastie, je reálna simulácia fyzikálnych procesov
napr. v~plazme stále nedostupná. Preto je pri pokuse o~počítačovú simuláciu fyzikálnych
procesov nutné používať isté zjednodušenia, ktoré znižujú časové nároky a~nároky na
počítačové vybavenie na prípustnú hranicu. Naráža sa taktiež na principiálny problém. Aby
sme mohli začať fyzikálny dej simulovať, potrebujeme poznať počiatočný stav všetkých
uvažovaných častíc, teda mikrostav plazmy. To však nie je možné.

Jedným zo zjednodušujúcich predpokladov môže byť využitie Debye--Hückelovej teórie
tienenia náboja. Na základe toho sa predpokladá, že častica neinteraguje so všetkými
ostatnými časticami, ale iba s časticami v jej blízkom okolí (v guli s~Debyeovým
polomerom). Toto zjednodušenie výrazne znižuje výpočtové nároky. Tento model sa nazýva aj
PIC (Particles In Cells) model.

Ďalším podstatným zjednodušením je simulovanie fyzikálneho procesu jedno- alebo
dvojrozmerným modelom. Prechod z~trojrozmerného modelu k~dvojrozmernému nie je zložitý
a~možno ho urobiť, ak uvážime rotačnú symetriu jednej z~priestorových súradníc. Takéto
zjednodušenie výrazne zníži náročnosť numerických výpočtov, fyzikálny charakter procesu sa
však takmer nezmenil. Prechod k~jednorozmernému modelu prináša ďalšie výrazné
zjednodušenie výpočtov, no tu už však nie je možné dostať plnú charakteristiku fyzikálnych
parametrov. Ako príklad možno uviesť anizotropiu rýchlostnej distribučnej funkcie nabitých
častíc v elektrickom poli naloženom kolmo na rovinné elektródy.

Táto práca sa zaoberá počítačovou simulačnou metódou Monte Carlo.  Snahou je simulovanie
procesu rezonančnej výmeny náboja jednak v~aproximácii studeného plynu, ale aj s~uvážením
tepelného pohybu. Tento proces je pozorovaný najmä pri vzácnych plynoch:
$\mathrm{He-He^+,\;Ne-Ne^+,\;Ar-Ar^+}$ \cite{McDaniel}.  Z~dôvodu výpočtovej zložitosti
v~trojrozmernom prípade bol použitý iba jednorozmerný model.  Simulačná metóda, ktorú sme
použili, považuje jednotlivé častice za ideálne tvrdé gule bez vnútornej štruktúry. Toto
obmedzenie sa zdá byť opodstatnené, kedže vzácne plyny $\mathrm{He,\;Ne,\;Ar}$ sa
vyznačujú vysokou stabilitou (sú malo reaktívne). Ich nízka reaktivita je spôsobená plným
obsadením vonkajších elektrónových orbitálov. Makroskopické parametre, ako je driftová
rýchlosť, distribučná funkcia a~entropia, sú získavané detailnou simuláciou dostatočného
počtu (rádovo $\approx 10^6$) častíc -- iónov.

Hlavným zámerom tejto práce je štúdium prechodových javov pri náhlej zmene intenzity
vonkajšieho elektrického poľa. Prechodové javy v~aproximácii studeného plynu boli už
v~minulosti študované. Táto diplomová práca je snahou nadviazať na predchádzajúcu prácu
\cite{Martis} a~rozpracovať teóriu rezonančnej výmeny náboja aj pri uvážení tepelného
pohybu molekúl neutrálneho plynu.

%\textsc{Prof. RNDr. Viktora Martišovitša, DrSc.} a~\textsc{Tibora Šimka}


\newpage

\section{Základné pojmy}

Uvažujme systém zmesi neutrálneho plynu a~malej prímesi nabitých častíc -- iónov. Na tento
systém naložme homogénne vonkajšie elektrické pole. Predpokladajme, že nami naložené
elektrické pole je teraz ešte stacionárne a~homogénne. Vzhľadom na nízku koncentráciu
nabitých častíc možno nimi vytvárané dodatočné pole zanedbať, a tak výsledné pole v
systéme je úplne určené naloženým vonkajším poľom.

Sledujme teraz, čo sa deje s jednou nabitou časticou. Nech je to kladne nabitý ión.
Elektrické pole ho urýchľuje v~smere vektora intenzity elektrického poľa $\vektor{E}$, no
ión sa nepohybuje bez prekážok, ale zráža sa s~molekulami neutrálneho plynu. Vzájomné
zrážky iónov medzi sebou možno zanedbať vzhľadom na ich nízku koncetráciu. Zrážkami
s~neutrálnymi molekulami postupne ión stráca časť svojej energie a~taktiež mizne
usmernenosť jeho pohybu. Jeho pohyb sa stáva viacej náhodným. Výsledkom je zložitá cesta
pomedzi molekuly v smere poľa $\vektor{E}$ (viď obrázok \refimage{molekuly}).

\inputImage{molekuly}{0.5\textwidth}{images/molekuly}
{Schématické znázornenie dráhy kladného iónu v plyne.}

Charakter pohybu iónu ovplyvňujú dva faktory: energia dodávaná elektrickým poľom
a~disipovaná energia pri zrážkach. Ak je energia, dodaná iónu elektrickým poľom za
jednotku času, rovná energii, disipovanej za rovnaký čas pri zrážkach, tak vravíme
o~\textit{hydrodynamickom} transportnom režime. Jedná sa o~akúsi rovnovážnu situáciu, nie
však v~termodynamickom zmysle.  Majme na pamäti tento zmysel aj naďalej.

Hydrodynamický režim vyžaduje ustálenosť energetických a~rýchlostných pomerov. Ión sa teda
pri svojom transporte plynom nachádza v~stále rovnakých podmienkach: homogénne pole,
neutrálny plyn. Náš systém je časovo aj priestorovo symetrický. Tento režim nastáva po
dostatočne dlhej dobe od vstreku iónov do plynu. Doba, kým dôjde k~takémuto ustáleniu
pomerov, závisí od charakteru vstreku, intenzity elektrického poľa a~typu častíc. Možno
však očakávať súvis so strednou dobou medzi zrážkami $\tau$.

V prípade, že je nami študovaný systém priestorovo alebo časovo nesymetrický, jedná sa
o~\textit{nehydrodynamický} transportný režim. Nesymetria študovaného systému môže byť
spôsobená gradientom elektrického poľa alebo časovou závislosťou problému.



\section{Zoznam použitých symbolov}

{
%\setlength{\abovedisplayskip}{1em}
%\setlength{\abovedisplayshortskip}{1em}
%\setlength{\belowdisplayskip}{1em}
%\setlength{\belowdisplayshortskip}{1em}
\begin{tabular}{p{2cm}l}
    $\mathbb{R}$            & množina reálnych čísel \\
    $\oper{R}(0, 1)$        & rovnomerné rozloženie náhodných čisel na intervale $(0, 1)$ \\
    $e$                        & náboj elektrónu,
                                $e = \cisloexp     1.602176462^{-19}~\Coulomb$ \\
    $k$                        & Boltzmannova konštanta,
                                $k = \cisloexp 1.3806503^{-23}~\jednotka{J.K^{-1}}$ \\
    $m_u$                    & atómová hmotnostná konštanta,
                                $m_u = \cisloexp 1.66053873^{-27} \jednotka{kg}$ \\
    $m, m_g$                & hmotnosť molekuly neutrálneho plynu \\
    $E$                        & veľkosť intenzity elektrického poľa    \\
    $\mathbf{E}$            & vektor intenzity elektrického poľa    \\
    $a, \mathbf{a}$            & zrýchlenie iónu, $\mathbf{a} = \frac{e\mathbf{E}}{m}$    \\
    $\mathbf{r}, x, y, z$    & polohový vektor a~jeho zložky v~karteziánskom \\
                            & súradnicovom systéme \\
    $\lambda$                & voľná dráha \\
    $\<\lambda>$            & stredná voľná dráha \\
    $T, T_g$                & teplota neutrálneho plynu \\
    $v_T$                    & najpravdepodobnejšia tepelná rýchlosť molekuly \\
                            & plynu s teplotou T \\
    $f(v)$                    & rozdeľovacia funkcia rýchlosti \\
    $S$                        & entropia \\
    $\tau, u, \xi$            & bezrozmerný čas, rýchlosť a~poloha častice \\
    $\alpha$                & pomer medzi energiou iónu dodanou elektrickým poľom \\
                            & na strednej voľnej dráhe a~tepelnou energiou iónu \\
    $\sgn(x)$                & znamienko premennej $x$ \\
    $\Heaviside(x)$            & Heavisideova skoková funkcia
\end{tabular}
    \begin{eqnarray}
        \Heaviside(x) = \left\{
        \begin{array}{ll}
            0, & x < 0 \\
            1, & x > 0 \\
        \end{array}
        \right.
        \label{Heaviside-def}
    \end{eqnarray}
    \tabularnewline
\begin{tabular}{p{2cm}l}
    $\Dirac(x)$                & Diracova delta funkcia \\
\end{tabular}
    \begin{eqnarray}
        \sgn(x) = \left\{
        \begin{array}{ll}
            -1, & x < 0 \\
            1, & x > 0 \\
        \end{array}
        \right.
        \label{sgn-def}
    \end{eqnarray}
\begin{tabular}{p{2cm}l}
    $\erf(x)$                & chybová funkcia \\
\end{tabular}
    \begin{eqnarray}
        \erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \Int_0^{x} e^{-t^2} dt
        \label{erf}
    \end{eqnarray}
\begin{tabular}{p{2cm}l}
    $\erfc(x)$                & doplnková funkcia chýb \\
\end{tabular}
    \begin{eqnarray}
        \erfc(x) = 1 - \erf(x)
            = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \Int_x^{+\infty} e^{-t^2} dt
        \label{erfc}
    \end{eqnarray}
} % \tabskip

% vim: ts=4
% vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=3 fmr=/*,*/ tw=90