File: [Platon] / doc / diplomova-praca-rajo / slide.tex (download)
Revision 1.1, Thu Jul 24 17:50:07 2003 UTC (20 years, 8 months ago) by rajo
Diploma Thesis of Lubomir Host.
Title: Metoda Monte Carlo vo fyzike nizkoteplotnej plazmy. (Slovak language)
|
%
% 'slide.tex' created: Fri Mar 28 16:37:10 CET 2003
%
% Developed by Lubomir Host 'rajo' <rajo AT platon.sk>
% Copyright (c) 2003 Platon SDG
% Licensed under terms of GNU General Public License.
% All rights reserved.
%
% $Platon$
%\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage [slovak]{babel}
\usepackage [latin2]{inputenc}
\usepackage {fontenc}
\usepackage {t1enc}
\usepackage {floatflt}
\usepackage {fancyhdr}
\usepackage {amsfonts}
% Definicia makier je v zvlastnom subore
\usepackage {diplomovka}
\usepackage {slide}
% Delenie casto pouzivanych slov
\input hyphenation.tex
\title{\Huge \textbf{Metóda Monte Carlo vo fyzike \\ nízkoteplotnej
plazmy}}
\author{\huge Ľubomír Host \\ \huge Prof.~RNDr.~Viktor~Martišovitš,~DrSc.}
\begin{document}
\huge
\maketitle
\begin{itemize}
\item Úvod
\item Cieľ práce
\item Rezonančná výmena náboja
\item Metóda Monte Carlo
\item Výsledky
\item Záver
\item Literatúra
\end{itemize}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{\Huge Rezonančná výmena náboja}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Rezonančná výmena náboja}
Reakcia:
\begin{eqnarray}
A^\pm + A(nl) & \longrightarrow & A(n'l') + A^\pm %\\
% A^\pm_2 + A_2(\Lambda) & \longrightarrow & A(\Lambda') + A^\pm_2
\label{reakcia}
\end{eqnarray}
Reakcia je spojená s procesom prechodu valenčného elektrónu cez
potenciálovú bariéru v~príťažlivom poli susedných častíc.
-- vzácne plyny: $\mathrm{He-He^+,\;Ne-Ne^+,\;Ar-Ar^+}$ \cite{McDaniel}
\bigskip
\section*{\Huge Metóda Monte Carlo}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Metóda Monte Carlo}
-- numerická metóda riešenia matematických úloh pomocou modelovania
náhodných veličín a štatistického odhadu ich charakteristík
\subsection*{\huge Implementácia}
Súčasné simulovanie dostatočne veľkej skupiny iónov -- vysoké nároky na
operačnú pamäť, pretože treba uchovávať informáciu o~polohe a~rýchlosti
každého iónu z~predchádzajúceho kroku
-- na základe predpokladov však možno simulovať postupne: jeden ión za
druhým
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{\Huge Aproximácia studeného plynu}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Aproximácia studeného plynu}
Teoretický model rezonančnej výmeny náboja v~aproximácii studeného plynu
je založený na nasledujúcich predpokladoch:
\begin{itemize}
\item atómy (molekuly) neutrálneho plynu sa nepohybujú
\item koncentrácia iónov v~neutrálnom plyne je malá
\item po zrážke iónu s neutrálnou molekulou má ión nulovú rýchlosť
(symetrická nábojová výmena)
\item nábojová výmena nastáva okamžite
\item elektrické pole, koncentrácia molekúl neutrálneho plynu a
iónov je nezávislá od polohy
\end{itemize}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section*{\Huge Analytické riešenie}
Boltzmannova kinetická rovnica v~aproximácii studeného plynu vyzerá
\begin{eqnarray}% /*
\Partial{f(v,t)}{t} +
a(t) \Partial{f(v,t)}{v}
& = & - n |v| \sigma f(v,t) + \\
& + & \frac{n}{V} \delta\left( \frac{v}{V} \right)
\Int_{-\infty}^{+\infty} |v'| \sigma f(v',t) dv' \nonumber
\label{boltzmann}
\end{eqnarray} % */
Normalizácia:
\begin{equation}% /*
\tau = t\sqrt{n\sigma a}, \qquad
u = v / V, \qquad
V = \sqrt{a / n\sigma}
\label{normalizacia}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\Partial{\varphi(u,\tau)}{\tau} + \Partial{\varphi(u,\tau)}{u}
& = & - |u| \varphi(u,\tau) + \\
& + & \delta(u)
\Int_{-\infty}^{+\infty} |u'| \varphi(u',\tau) du' \nonumber \\
\varphi(u, \tau) = \frac{f(v,t)}{n_+}\frac{dv}{du}
\label{norm-boltzmann}
\end{eqnarray}% */
Časová závislosť driftovej rýchlosti iónov je daná vzťahom
% /*
\begin{equation}
u_d(\tau) = \Int_{-\infty}^{+\infty} u \varphi(u,\tau) du
\label{u-drift}
\end{equation}
\begin{equation}
u_d(\tau) = \Int_0^\tau u u_d(\tau - u) e^{-\frac{1}{2}u^2} du
+ \Int_0^\infty u \varphi(u - \tau, 0)
e^{\tau(\frac{1}{2}\tau - u)} du
\label{driftova-rychlost}
\end{equation}
% */
\inputImage[b!]{analytic}{\textwidth}{images/slide-analytic}% /*
{\LARGE a,b,c) Časový priebeh driftovej rýchlosti. %Krivka označená $\<\zeta> /
%\tau$ je driftová rýchlosť určovaná z~prebehnutej dráhy, krivka
%MC je driftová rýchlosť určovaná priamo z~rýchlosti iónov.
d) Časový
priebeh entropie iónového zväzku. Počet simulovaných iónov $N =
\cisloexp 1.0^6$.} % */
V prípade, že v čase $\tau = 0$ sú ióny v~pokoji (majú nulové
rýchlosti), je distribučná funkcia $\varphi(u, 0) = \delta(u)$. Ustálená
hodnota driftovej rýchlosti a~rovnovážna distribučná funkcia potom sú
\begin{equation} % /*
u_d(\infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \qquad
v_d(\infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{eE\<\lambda>}{m}}
\label{silne-pole}
\end{equation}
\begin{equation}
\varphi(u, \infty) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \Theta(u) e^{-\frac{1}{2}u^2}
\label{rovnovazna-distrib}
\end{equation} % */
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Rovnovážna hodnota entropie
\begin{eqnarray} % /*
S(\infty) & = & \lim_{\tau \to \infty} S(\tau) =
- \Int_{-\infty}^{\infty}
\varphi(u, \infty) \ln\varphi(u, \infty) \d u = \nonumber \\
& = & \ln\sqrt{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2}
\label{rovnovazna-entopia}
\end{eqnarray} % */
\inputImage[b!]{distrib_T=0K}{\textwidth}{images/slide-distrib_T-0}
{\LARGE Distribučná funkcia rýchlosti iónov pri teplote $T =
0\Kelvin$ v~niekoľkých časových okamihoch. Počet simulovaných iónov $N = \cisloexp 1.0^6$}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\inputImage[t!]{presnost-MC}{\textwidth}{images/slide-presnost-MC}
{\LARGE Závislosť relatívnej chyby $\varepsilon$ metódy Monte Carlo od
počtu simulovaných iónov.} % */
\begin{eqnarray}
\varepsilon & = &
\lim_{\tau \to \infty}
\frac{\Int_\tau^{\tau + \Delta \tau} |u_d(t) - u_d(\infty)| dt}
{\Delta \tau \; u_d(\infty)} \\
\nonumber \\
\varepsilon & \sim & N^{-\frac{1}{2}} \sim t^{-\frac{1}{2}}
\label{relat-chyba}
\end{eqnarray}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\inputImage{vdrift-E:T-0K}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E_T-0}% /*
{Závislosť driftovej rýchlosti iónov hélia od intenzity elektrického poľa pri
teplote $T = 0\Kelvin$. $\lambda = \cisloexp 3.0^{-7} \m$}
% */
\begin{equation}
v_d = \sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{eE\<\lambda>}{m}}
\end{equation}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{\Huge Uváženie tepelného pohybu molekúl}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Uváženie tepelného pohybu molekúl}
% rovnice /*
\begin{equation}
f(v_x) dv_x = \frac{1}{\sqrt{\pi}v_T} \exp\left(
-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x
\label{fvTg}
\end{equation}
Zavedenie bezrozmerných parametrov vychádza z pohybových rovníc:
\begin{eqnarray}
x & = & \frac{1}{2}at^2 + v_0t \\
v & = & at + v_0
\label{zakladne-rovnice}
\end{eqnarray}
\begin{equation}
x = K_x \xi, \qquad v = K_v u, \qquad t = K_t \tau
\label{normalizacia-T-nenulove}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
K_x & = & \<\lambda> \\
K_v & = & v_T = \sqrt{\frac{2 k T_g}{m_g}} \\
K_t & = & \frac{K_x}{K_v}
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\alpha = \frac{aK_t^2}{K_x}
= \frac{a \<\lambda>}{v_T^2}
\label{alpha}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\xi & = & \frac{1}{2}\alpha\tau^2 + u_0\tau
\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-x-alpha} \\
u & = & \alpha\tau + u_0
\label{zakladne-rovnice-s-normalizaciou-v-alpha}
\end{eqnarray}
% */
\inputImage[h]{slide-vdrift_T-300K-normal-model}{\textwidth}{images/slide-vdrift_T-300K-normal-model}% /*
{Časový priebeh driftovej rýchlosti pre rôzne intenzity elektrického
poľa pri teplote $T = 300\Kelvin$. Počet simulovaných iónov hélia $N = \cisloexp 5.0^5$.}
% */
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\inputImage[h]{slide-zavislost-vdrift-E-normal-model}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E-normal-model}% /*
{Závislosť driftovej rýchlosti od
intenzity elektrického poľa. Naznačená smernica $v_{drift} = \cislo
891.05 \; \alpha^{1/2} \m.\s^{-1}$ a~fitovaná smernica $v_{drift} = \cislo 891.05 \;
\alpha^{\cislo 0.668} \m.\s^{-1}$. Počet simulovaných iónov hélia $N = \cisloexp 5.0^5$.}
% */
V prípade slabého poľa driftová rýchlosť iónov závisí ako
\begin{equation}
v_d(0) = \frac{A}{\sqrt{mkT}}eE\<\lambda>,
\label{slabe-pole}
\end{equation}
kde konštanta $A = \cislo 0.330 \div \cislo 0.341$ \cite{McDaniel}.
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% distribucne funkcie /*
\begin{eqnarray}
f(v_x) dv_x & = & \frac{1}{\sqrt{\pi}v_T}
\exp\left(-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x \\
\nonumber \\
%
f_\beta(v_x) dv_x & = &
\left\{
\begin{array}{lll}
0, & & |v_x| < \beta v_T \\
\\
\displaystyle\frac{1}{\erfc(\beta)} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}v_T} & \\
& \displaystyle\exp\left(-\frac{v_x^2}{v_T^2}\right) dv_x, & |v_x| > \beta v_T \\
\end{array}
\right.
\label{fvBeta} \nonumber \\
\\
%
f_{3D}(v) dv & = & \frac{4 \pi}{(\sqrt{\pi} v_T)^3}
\exp\left(-\frac{v^2}{v_T^2}\right) v^2 dv
\label{fv3D}
%
\end{eqnarray}
% */
\inputImage[hb!]{distribucne-funkcie}{0.7\textwidth}{images/slide-distribucne-funkcie}% /*
{Porovnanie distribučných funkcií. Zobrazené distribučné funkcie sú
normalizované, $u = v/v_T$. $f_\beta(u)$ vykreslené pre $\beta = \cislo 0.5$.}
% */
\inputImage{zavislost-vdrift-E-beta-model}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E-beta-model}% /*
{Závislosť driftovej rýchlosti iónov hélia od intenzity elektrického
poľa pri teplote $T = 300\Kelvin$ pri rôznych hodnotách
koeficientu~$\beta$.}
% */
\inputImage{slide-vdrift_T-300K-x2-model}{\textwidth}{images/slide-vdrift_T-300K-x2-model}% /*
{Časový priebeh driftovej rýchlosti iónov hélia pre rôzne intenzity elektrického
poľa pri teplote $T = 300\Kelvin$ ak sa použije rozdeľovacia funkcia
\rov{fv3D} -- $f_{3D}(v)$. Počet simulovaných iónov $N = \cisloexp 5.0^5$.}
% */
\inputImage{slide-zavislost-vdrift-E-x2-model}{\textwidth}{images/slide-zavislost-vdrift-E-x2-model}% /*
{Závislosť driftovej rýchlosti iónov hélia od intenzity elektrického poľa. $T =
300\Kelvin$, $\lambda = \cisloexp 3.0^{-7} \m$.}
% */
\inputImage{slide-entropy-x2-model}{\textwidth}{images/slide-entropy-x2-model}% /*
{Časový vývoj entropie pre $\alpha = \cislo 1.0$. $T = 300\Kelvin$,
$\lambda = \cisloexp 3.0^{-7} \m$. }
% */
\inputImage{distrib-x2-model-3D}{\textwidth}{images/x2-model-distrib-3D_projection}% /*
{Distribučná funkcia iónov hélia ($\mathrm{He}-\mathrm{He}^+$) pri
teplote $T = 300\Kelvin$. $\alpha = \cislo 1.0$, počet simulovaných
iónov $N = \cisloexp 5.0^5$. Bezrozmerná škála.}
% */
\clearpage
\newpage
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{\Huge Generovanie náhodných čísel metódou inverznej funkcie}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Generovanie náhodných čísel metódou
inverznej funkcie}
Náhodná voľná dráha sa generuje metódou inverznej funkcie
\begin{eqnarray}
f(x) & = & \frac{1}{\lambda} \exp(- x / \lambda)
\label{distrib-lambda} \\
F(x) & = & \Int_0^x \frac{1}{\lambda} \exp(- \xi / \lambda) d\xi = \nonumber \\
& = & 1 - \exp(- x / \lambda)
\label{rozdel-lambda} \\
x_i & = & - \lambda \log(1 - R_i), \qquad R_i \in \oper{R}(0,1)
\label{xi}
\end{eqnarray}
\newpage
\section*{\Huge Generovanie náhodných čísel von Neumannovou metódou
výberu}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Generovanie náhodných čísel von
Neumannovou metódou výberu}
\begin{figure}[hbt!]%
\includegraphics[width=\textwidth, height=11.5cm]{images/neumann}%
\caption{Generovanie náhodných čísel von Neumannovou metódou výberu.}
\label{neumann}
\end{figure}
\clearpage
\inputImage{slide-casy-zrazok}{\textwidth}{images/slide-casy-zrazok}% /*
{Závislosť zrážkovej frekvencie $\nu$ od intenzity elektrického poľa
(koeficient $\alpha$). Porovnanie vplyvu distribučnej funkcie na
závislosť $\nu$ od $\alpha$.}
% */
$\mathbf{sgn\;a \neq sgn\;v_0 \AND v_0 \leq \sqrt{2\lambda|a|}}$\textbf{:}
\begin{equation}
t = \frac{|v_0| + \sqrt{2|a|\lambda - v_0^2}}{|a|}
\label{cas-medzi-zrazkami-2}
\end{equation}
\textbf{ostatné prípady:}
\begin{equation}
t = \frac{2\lambda}{|v_0| + \sqrt{v_0^2 + 2a\lambda\,\sgn\;v_0}}
\label{cas-medzi-zrazkami}
\end{equation}
\clearpage
\section*{\Huge Záver}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Záver}
Dosiahnuté výsledky:
\begin{itemize}
\item odladenie algoritmu a~porovnanie numerických výsledkov
s~analytickým riešením
\item nezávisle potvrdenie už dosiahnutých výsledkov v~aproximácii
studeného plynu \cite{Martis}
\item nájdenie zákonov podobnosti pre rezonančnú výmenu náboja pri
započítaní tepelného pohybu molekúl
\item objav anomálneho správania sa driftovej rýchlosti iónov
v~slabých poliach a~analýza možných príčin
\item časový vývoj driftovej rýchlosti, entropie a~distribučnej
funkcie v~silných a~slabých poliach
\end{itemize}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% $$
% \left(\frac{M}{m} + \frac{m}{M}\right) eE\lambda << kT
% $$
%
% $$
% \cisloexp 3.98^{-22} \J \leftrightarrow \cisloexp 1.38^{-22} \J
% $$
%
% \newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Pri teplote $T = 0 \Kelvin$ -- silné pole \\
% Pri teplote $T > 0 \Kelvin$ -- slabé aj silné pole
%
% Kritériom, kedy sa jedná o silné pole je podmienka
% \begin{equation}
% \left(\frac{M}{m} + \frac{m}{M}\right) eE\lambda >> kT
% \label{podmienka}
% \end{equation}
% tzn. energia dodaná iónu elektrickým poľom na strednej voľnej dráhe musí
% byť väčšia ako energia tepelného pohybu.
%\section*{\Huge Záver}
\input {06-literatura}
%\listoffigures
\end{document}
% vim: ts=4
% vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=3 fmr=/*,*/
Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
|